Некоторые классы разрешимости задачи целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы с ограничениями второго рода

Рассматривается задача целочисленного сбалансирования с ограничениями второго рода. В вещественной трехмерной матрице элементы внутренней части (все три индекса больше нуля) просуммированы по каждому направлению и сечению матрицы, а также найдена общая сумма. Данные суммы размещаются в элементах матрицы, у которых один или несколько индексов равны нулю (в соответствии с направлениями суммирования). Ищется целочисленная матрица той же структуры, получаемая из исходной заменой элементов внутренней части на округления до целого сверху или целого снизу. При этом суммирующие элементы должны отклоняться от исходных менее чем на 2, а элемент с тремя нулевыми индексами получается по обычным правилам округления. В статье определяются некоторые классы разрешимости данной задачи. Также предлагается модель ее сведения к задаче о наибольшем потоке в кратной сети и алгоритм решения соответствующей потоковой задачи. Кроме того, для частного случая n = 2 приводится полиномиальный алгоритм.

1. Рублев В. С., Смирнов А. В. NP-полнота задачи целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы // ДАН. 2010. Т. 435, №3. С. 314–316 (English transl.: Roublev V. S., Smirnov A. V. NP-Completeness of the Integer Balancing Problem for a Three-Dimensional Matrix // Doklady Mathematics. 2010. Vol. 82, №3. P. 912–914).

2. Рублев В. С., Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и алгоритмы ее решения // Моделирование и анализ информационных систем. 2010. Т. 17, №2. С. 72–98 (Roublev V.S., Smirnov A.V. The Problem of IntegerValued Balancing of a Three-Dimensional Matrix and Algorithms of Its Solution // MAIS. 2010. V. 17, №2. P. 72–98 [in Russian]).

3. Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и сетевая модель // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №3. С. 70–76 (Smirnov A.V. The Problem of Integer-valued Balancing of a Three-dimensional Matrix and Network Model // MAIS. 2010. V. 16, №3. P. 70–76 [in Russian]).

4. Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы с ограниченями второго рода // Моделирование и анализ информационных систем: Труды международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012. С. 164–167 (Smirnov A. V. Zadacha tselochislennogo sbalansirovaniya tryokhmernoy matritsy s ogranicheniyami vtorogo roda // Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem: Trudy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii, posvyashchyonnoy 35-letiyu matematicheskogo fakulteta i 25-letiyu fakulteta informatiki i vychislitelnoy tekhniki Yaroslavskogo gosudarstvennogo universiteta im. P. G. Demidova. Yaroslavl: YarGU, 2012. S. 164–167 [in Russian]).

5. Кондаков А. С., Рублев В. С. Задача сбалансирования матрицы плана // Доклады Одесского семинара по дискретной математике. Одесса: Астропринт, 2005. Вып. 2. С. 24–26 (Kondakov A. S., Roublev V. S. Zadacha sbalansirovaniya matritsy plana // Doklady Odesskogo seminara po diskretnoy matematike. Odessa: Astroprint, 2005. №2. S. 24–26 [in Russian]).

6. Коршунова Н. М., Рублев В. С. Задача целочисленного сбалансирования матрицы // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль: ЯрГУ, 2000. Вып. 3. С. 145–150 (Korshunova N. M., Roublev V. S. Zadacha tselochislennogo sbalansirovaniya matritsy // Sovremennye problemy matematiki i informatiki. Yaroslavl: YarGU, 2000. №3. S. 145–150 [in Russian]).

7. Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. 276 с. (Ford L. R., Fulkerson D. R. Flows in Networks. Princeton University Press, 1962. 194 p.).

8. Рублев В. С., Смирнов А. В. Потоки в кратных сетях // Ярославский педагогический вестник. Естественные науки. 2011. Т. 3, №2. С. 60–68 (Rublev V.S., Smirnov A.V. Flows in Multiple Networks // Yaroslavsky Pedagogichesky Vestnik. 2011. T. 3, №2. S. 60–68 [in Russian]).