Большие цепочки из логистических уравнений с запаздыванием со связями адвективного типа: алгоритм построения квазинормальных форм

Рассматривается динамика больших непериодических цепочек с адвективными связями между элементами. Основное предположение состоит в том, что количество $N$ элементов цепочки достаточно велико, поэтому естественным образом возникает малый параметр $\varepsilon=N^{-1}.$ Это предположение дает возможность от системы $N$ уравнений с запаздыванием перейти к исследованию пространственно-распределенного интегро-дифференциального уравнения, содержащего малый параметр и использовать асимптотические методы для исследования динамических свойств этого уравнения. Связи между элементами цепочек являются разностной аппроксимацией оператора адвекции (переноса), поэтому их называют адвективными. Еще одно предположение состоит в том, что цепочки не являются кольцевыми, т.е. краевые условия для рассматриваемых систем не обладают свойствами периодичности. Рассматриваются неклассические краевые условия, которые способствуют появлению новых динамических эффектов. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и показано, что они имеют бесконечную размерность в том смысле, что бесконечно много корней характеристического уравнения стремятся к мнимой оси при стремлении к нулю малого параметра. В этой ситуации известные методы исследования, основанные на использовании инвариантных интегральных многообразий и нормальных форм, непосредственно не применимы. Используются методы квазинормальных форм, нелокальная динамика которых определяет локальное поведение решений рассматриваемых цепочек. Основные результаты состоят в построении квазинормальных форм с помощью специальных асимптотических методов. Это дает возможность получить главные приближения по параметру $\varepsilon$ решений исходной цепочки.

1. J. Wu, Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York: Springer New York, 1996. doi: 10.1007/978-1-4612-4050-1.

2. S. A. Kashchenko, Dinamika modelei na osnove logisticheskogo uravneniia s zapazdyvaniem. Moscow: KRASAND, 2021.

3. G. V. Osipov, A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, and J. Kurths, “Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical R$ddoto$ssler oscillators,” Physical Review E, vol. 55, no. 3, pp. 2353–2361, 1997, doi: 10.1103/PhysRevE.55.2353.

4. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, and J. Kurths, Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001.

5. C. R. S. Williams, F. Sorrentino, T. E. Murphy, and R. Roy, “Synchronization states and multistability in a ring of periodic oscillators: Experimentally variable coupling delays,” Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 23, no. 4, p. 43117, 2013, doi: 10.1063/1.4829626.

6. V. Klinshov and V. Nekorkin, “Synchronization in networks of pulse oscillators with time-delay coupling,” Cybernetics and Physics, vol. 1, no. 2, pp. 106–112, 2012.

7. S. A. Kashchenko, “Quasinormal Forms for Chains of Coupled Logistic Equations with Delay,” Mathematics, vol. 10, no. 15, p. 2648, 2022, doi: 10.3390/math10152648.

8. S. A. Kashchenko, “Dynamics of advectively coupled Van der Pol equations chain,” Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 31, no. 3, p. 033147, 2021, doi: 10.1063/5.0040689.

9. S. A. Kashchenko, “Dynamics of Non-Periodic Chains with One-Sided and Two-Sided Couplings,” Mathematics, vol. 13, no. 23, p. 3746, 2025, doi: 10.3390/math13233746.

10. S. A. Kashchenko, “Local dynamics of aperiodic chains with unidirectional couplings,” Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, vol. 34, no. 1, pp. 9–33, 2026, doi: 10.18500/0869-6632-003197.

11. A. P. Kuznetsov, S. P. Kuznetsov, I. R. Sataev, and L. V. Turukina, “About Landau--Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators,” Physics Letters A, vol. 377, no. 45, pp. 3291–3295, 2013, doi: 10.1016/j.physleta.2013.10.013.

12. R. Rao, Z. Lin, X. Ai, and J. Wu, “Synchronization of Epidemic Systems with Neumann Boundary Value under Delayed Impulse,” Mathematics, vol. 10, no. 12, p. 2064, 2022, doi: 10.3390/math10122064.

13. V. V. Klinshov and V. I. Nekorkin, “Synchronization of delay-coupled oscillator networks,” Physics–Uspekhi, vol. 56, no. 12, pp. 1217–1229, 2013, doi: 10.3367/UFNe.0183.201312c.1323.

14. V. V. Klinshov, “Collective dynamics of networks of active units with pulse coupling: Review,” Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, vol. 28, no. 5, pp. 465–490, 2020, doi: 10.18500/0869-6632-2020-28-5-465-490.

15. M. Zhang, G. S. Wiederhecker, S. Manipatruni, A. Barnard, P. McEuen, and M. Lipson, “Synchronization of micromechanical oscillators using light,” Physical Review Letters, vol. 109, no. 23, p. 233906, 2012, doi: 10.1103/PhysRevLett.109.233906.

16. E. V. Grigorieva, H. Haken, and S. A. Kashchenko, “Complexity near equilibrium in model of lasers with delayed optoelectronic feedback,” in Proceedings of the 1998 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications, Crans-Montana, Switzerland, 1998, pp. 495–498.

17. I. Kanter, M. Zigzag, A. Englert, F. Geissler, and W. Kinzel, “Synchronization of unidirectional time delay chaotic networks and the greatest common divisor,” Europhysics Letters, vol. 93, no. 6, p. 60003, 2011, doi: 10.1209/0295-5075/93/60003.

18. S. Yanchuk, P. Perlikowski, O. V. Popovych, and P. A. Tass, “Variability of spatio-temporal patterns in non-homogeneous rings of spiking neurons,” Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 21, no. 4, p. 47511, 2011, doi: 10.1063/1.3665200.

19. A. S. Karavaev et al., “A model of human cardiovascular system containing a loop for the autonomic control of mean blood pressure,” Human Physiology, vol. 43, no. 1, pp. 61–70, 2017, doi: 10.1134/S0362119716060098.

20. M. Nixon, E. Ronen, A. A. Friesem, and N. Davidson, “Observing Geometric Frustration with Thousands of Coupled Lasers,” Physical Review Letters, vol. 110, no. 18, p. 184102, 2013, doi: 10.1103/PhysRevLett.110.184102.

21. A. Pando, S. Gadasi, E. Bernstein, N. Stroev, A. Friesem, and N. Davidson, “Synchronization in Coupled Laser Arrays with Correlated and Uncorrelated Disorder,” Physical Review Letters, vol. 133, no. 11, p. 113803, 2024, doi: 10.1103/PhysRevLett.133.113803.

22. M. Nixon, M. Fridman, E. Ronen, A. A. Friesem, N. Davidson, and I. Kanter, “Controlling Synchronization in Large Laser Networks,” Physical Review Letters, vol. 108, no. 21, p. 214101, 2012, doi: 10.1103/PhysRevLett.108.214101.

23. A. A. Emelianova, O. V. Maslennikov, and V. I. Nekorkin, “Disordered quenching in arrays of coupled Bautin oscillators,” Chaos, vol. 32, no. 6, p. 063126, 2022, doi: 10.1063/5.0093947.

24. D. V. Kasatkin, A. A. Emelianova, and V. I. Nekorkin, “Nonlinear phenomena in Kuramoto oscillatory networks with dynamic connections,” Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, vol. 29, no. 4, pp. 635–675, 2021, doi: 10.18500/0869-6632-2021-29-4-635-675.

25. J. Shena, Y. Kominis, A. Bountis, and V. Kovanis, “Spatial control of localized oscillations in arrays of coupled laser dimmers,” Physical Review E, vol. 102, no. 1, p. 012201, 2020, doi: 10.1103/PhysRevE.102.012201.

26. M. Mehrabbeik, S. Jafari, R. Meucci, and M. Perc, “Synchronization and multistability in a network of diffusively coupled laser models,” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 125, p. 107380, 2023, doi: 10.1016/j.cnsns.2023.107380.

27. V. I. Nekorkin and V. A. Makarov, “Spatial Chaos in a Chain of Coupled Bistable Oscillators,” Physical Review Letters, vol. 74, no. 24, pp. 4819–4822, 1995, doi: 10.1103/PhysRevLett.74.4819.

28. P. Hartman, Ordinary Differential Equations. New York: Wiley, 1965. doi: 10.1137/1.9780898719222.

29. D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Heidelberg: Springer Berlin, 1981. doi: 10.1007/BFb0089647.

30. S. A. Kashchenko, “Normalization in the systems with small diffusion,” International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, vol. 6, no. 6, pp. 1093–1109, 1996, doi: 10.1142/S021812749600059X.

31. D. S. Kashchenko, D. O. Loginov, and A. O. Tolbey, “Algorithm for Studying the Dynamics of a Spatially Distributed Logistic Equation With Delay and Taking Into Account Migration,” Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 32, no. 3, pp. 242–251, 2025, doi: 10.18255/1818-1015-2025-3-242-251.

32. T. S. Akhromeeva, S. P. Kurdyumov, G. G. Malinetskii, and A. A. Samarskii, Nestacionarnye struktury i diffuzionnyj haos. Moscow: Nauka, 1992.

33. V. Garcia-Morales and K. Krischer, “The complex Ginzburg--Landau equation: An introduction,” Contemporary Physics, vol. 53, no. 2, pp. 79–95, 2012, doi: 10.1080/00107514.2011.642554.