On the Approximation of Periodic Functions in L2 and the Values of the Widths of Certain Classes of Functions
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-1-127-143
Abstract
The sharp Jackson–Stechkin inequalities are received, in which a special module of continuity Ωem(f;t) determined by Steklov’s function is used instead the usual modulus of continuity of mth order ωm(f;t). Such generalized modulus of continuity of mth order were introduced by V.A. Abilov and F.V. Abilova. The introduced modulus of continuity found their application in the theory of polynomial approximation in Hilbert space in the works by M.Sh. Shabozov and G.A. Yusupov, S.B. Vakarchuk and V.I. Zabutnaya and others. While continuing and developing these direction for some classes of functions defined by modulus of continuity, the new values of n-widths in the Hilbert space L₂were found.
About the Author
K. Tukhliev
Khujand State University
Tajikistan
Tajikistan
кандидат физико-математических наук, доцент,
Mavlonbekova, 1, Khujand, 735700, Tajikistan
References
1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L₂ // Математические заметки. 1967. Т. 2, №5. С. 513–522. (English transl.: Chernykh N.I. On the best L₂-approximation of periodic function by trigonometric polynomials // Matemathematical Notes. 1967. V. 2, №5. P. 513–522.)
2. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L₂// Математические заметки. 1976. Т. 20, №3. С. 433–438. (English transl.: Taikov L.V. Inequalities containing best approximations, and the modulus of continuity of functions in L₂// Matemathematical Notes. 1976. V. 20, №3. P. 433–438.)
3. Юдин В.А. Диофантовы приближения в экстремальных задачах // ДАН СССР. 1980. Т. 251, №1. С. 54–57. (English transl.: Yudin V.A. Diophantine approximations in L₂extremal problems // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1980. V. 251, №1. P. 54–57.)
4. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L²// Математические заметки. 1986. Т. 39, №5. С. 651–664. (English transl.: Babenko A.G. The exact constant in the Jackson inequality in L²// Matemathematical Notes. 1986. V. 39, №5. P. 651–664.)
5. Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L₂// Математические заметки. 1988. Т. 43, №6. С. 757–769. (English transl.: Ligun A.A. Exact Jackson type inequalities for periodic functions in the spaces L₂// Matemathematical Notes. 1988. V. 43, №6. P. 757–769.)
6. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: Тульский государственный университет, 1995. (Ivanov V.I., Smirnov O.I. Konstanty Dzheksona i konstanty Junga v prostranstvah Lp. Tula: Tulskiy gosudarstvennyj universitet, 1995 [in Russian].)
7. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. Неравенства Джексона – Стечкина в L₂с тригонометрическим модулем непрерывности // Математические заметки. 1999. Т. 65, №6. С. 928–932. (English transl.: Babenko A.G., Chernykh N.I., Shevaldin V.T. The Jackson – Stechkin inequality in L₂with a trigonometric modulus of continuity // Matemathematical Notes. 1999. V. 65, №6. P. 777–781.)
8. Вакарчук С.Б. K-функционалы и точные значения n-поперечников некоторых классов из L₂// Математические заметки. 1999. Т. 66, №4. С. 494–499. (English transl.: Vakarchuk S.B. K-functionals and exact values of n-widths of some classes in L₂// Matemathematical Notes. 1999. V. 66, №4. P. 494–499.)
9. Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из L₂[0, 2π] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Математические заметки. 1999. Т. 65, №6. С. 816–820. (English transl.: Esmaganbetov M.G. Widths of classes from L₂[0, 2π] and the minimization of exact constants in Jackson-type inequalities // Matemathematical Notes. 1999. V. 65, №6. P. 816–820.)
10. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения 2π-периодических функций суммами Фурье в пространстве L₂(2π) // Математические заметки. 2004. Т. 76, №6. С. 803–811. (English transl.: Abilov V.A., Abilova F.V. Problems in the approximation of 2π-periodic functions by Fourier sums in the space L₂(2π) // Matemathematical Notes. 2004. V. 76, №6. P. 803–811.)
11. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L₂// Математические заметки. 2005. Т. 78, №5. С. 792–796. (English transl.: Vakarchuk S.B. Exact constants in Jackson-type inequalities and exact values of widths // Matemathematical Notes. 2005. V. 78, №5. P. 792–796.)
12. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L₂[0, 2π] // Математические заметки. 2010. Т. 87, №4. С. 616–623. (English transl.: Shabozov M.Sh. Widths of classes periodical differentiable functions in L₂[0, 2π] // Matemathematical Notes. 2010. V. 87, №4. P. 616–623.)
13. Шабозов М.Ш. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения n-поперечников некоторых классов функций из L₂// Известия АН Республики Таджикистан. Отделение физ.-мат., хим., геол. и тех. наук. 2010. №4(141). С. 7–24. (English transl.: Shabozov M.Sh. The exact constants in the inequality of Jackson type and the exact value of n-widths of some classes functions from L₂// News of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan. Department of physical, mathematical, chemical, geological and technical sciences. 2010. №4(141). P. 7–24.)
14. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L₂некоторых классов 2π-периодических функций и точные значения их поперечников // Математические заметки. 2011. Т. 90, №5. С. 764–775. (English transl.: Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Best polynomial approximation in L₂of classes of 2π-periodic functions and exact values of their widths // Matemathematical Notes. 2011. V. 90, №5. P. 764–775.)
15. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций в L₂// Сибирский матемематический журнал. 2011. Т. 52, №6. С. 1414–1427. (English transl.: Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Exact constants in Jackson-type inequalities and exact values of the widths of some classes of functions in L₂// Siberian Mathematical Journal. 2011. V. 52, №6. P. 1414–1427.)
16. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Widths of Certain Classes of Periodic Functions in L₂// Journal of Approximation Theory. 2012. V. 164, issue 1. P. 869–878.
17. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976. (Tikhomirov V.M. Nekotorye voprosy teorii priblizhenij. Moskva: Moskovskij gosudarstvennyj universitet, 1976 [in Russian].)
18. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York. Tokyo, 1985.
19. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона – Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве L₂// Математические заметки. 2012. Т. 92, №4. С. 497–514. (English transl.: Vakarchuk S.B., Zabutnaya V.I. Jackson – Stechkin type inequalities for special moduli of continuity and widths of function classes in the space L₂// Matemathematical Notes. 2012. V. 92, №4. P. 497–514.)
20. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Наилучшие полиномиальные приближения и поперечники некоторых функциональных классов в L₂// Математические заметки. 2013. Т. 94, №6. С. 905–914. (English transl.: Shabozov M.Sh., Tukhliev K. The best polynomial approximation and the widths of some functional classes in L₂// Matemathematical Notes. 2013. V. 94, №6. P. 905–914.)
21. Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Математический сборник. 1994. Т. 185, №8. С. 81–102. (English transl.: Runovskiĭ K.V. On approximation by families of linear polynomial operators in Lp-spaces, 0 < p < 1 // Matematicheski˘ı Sbornik. 1994. V. 185, №8. P. 81–102.)
22. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. (Dzyadik V.K. Vvedenie v teoriyu ravnomernogo priblizheniya. Moskva: Nauka, 1977 [in Russian].)
Review
For citations:
Tukhliev K. On the Approximation of Periodic Functions in L2 and the Values of the Widths of Certain Classes of Functions. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(1):127-143. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-1-127-143
Views:
947
Email this article 