АВТОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЬЦЕВОЙ НЕЙРОННОЙ ЦЕПИ С ОДНОНАПРАВЛЕННОЙ СВЯЗЬЮ

Статья посвящена проблеме математического моделирования нейронной активности. Предлагаются новые классы сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием вольтерровского типа, с помощью которых описывается функционирование как отдельного нейрона, так и нейронных сетей. Проводится исследование аттракторов кольцевой системы однонаправленно связанных импульсных нейронов при неограниченном увеличении числа звеньев цепочки. Для изучения ее периодических решений автоволнового типа используются некоторые специальные приемы, сводящие проблемы существования и устойчивости циклов к анализу вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. На этом пути устанавливается, что при увеличении числа звеньев цепочки количество сосуществующих в ней устойчивых автоволновых решений неограниченно растет, т.е. имеет место известное явление буферности.

1. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С., “Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным”, Докл. АН СССР, 102:5 (1955), 889–891; [Mishchenko E. F., Pontryagin L. S., “Periodicheskiye resheniya sistem differentsial’nykh uravneniy, blizkiye k razryvnym”, Dokl. AN SSSR, 102:5 (1955), 889–891, (in Russian).]

2. Колесов А.Ю., Колесов Ю. С., “Релаксационные колебания в математических моделях экологии”, Тр. МИРАН, 199 (1993); English transl.: Kolesov A. Yu., Kolesov Yu. S., “Relaxational oscillations in mathematical models of ecology”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 199 (1995), 1–126.

3. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Реле с запаздыванием и его C 1 аппроксимация”, Тр. Мат. ин-та РАН, 216 (1997), 126–153; English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., “Relay with delay and its C 1 approximation”, Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 216 (1997), 119–146.

4. Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в системах с запаздыванием из экологии”, Доклады академии наук, 434:6 (2010), 735–738; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Discrete autowaves in delay systems in ecology”, Doklady mathematics, 82:2 (2010), 794–797.

5. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Об одной модификации уравнения Хатчинсона”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:12 (2010), 2099–2112; English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., “A modification of Hutchinson’s equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:12 (2010), 1990–2002.

6. Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Теория релаксационных колебаний для уравнения Хатчинсона”, Матем. сб., 202:6 (2011), 51–82; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The theory of relaxation oscillations for Hutchinson’s equation”, Sbornik: Mathematics, 202:6 (2011), 829–858.

7. Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в цепочках диффузионно связанных уравнений с запаздыванием”, УМН, 67:2(404) (2012), 109–156; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Self-excited wave processes in chains of diffusion-linked delay equations”, Russian Math. Surveys, 67:2 (2012), 297–343.

8. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I”, Дифференц. уравнения, 47:7 (2011), 919–932; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: I”, Differential Equations, 47:7 (2011), 927–941.

9. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II”, Дифференц. уравнения, 47:12 (2011), 1675–1692; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: II”, Differential Equations, 47:12 (2011), 1697–1713.

10. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III”, Дифференц. уравнения, 48:2 (2012), 155–170; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: III”, Differential Equations, 48:2 (2012), 159–175.

11. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в нейронных системах”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 52:5 (2012), 840–858; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Discrete autowaves in neural systems”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2:5 (2012), 702–719.

12. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах”, Матем. заметки, 93:5 (2013), 684–701; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems”, Mathematical Notes, 93:5 (2013), 676–690.

13. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, Наука, М, 1975, 248 с.; English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., Differential equations with small parameters and relaxation oscillations, Plenum Press, 1980, 228 pp.

14. Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах, Физматлит, М., 1995; [Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., Periodicheskiye dvizheniya i bifurkatsionnyye protsessy v singulyarno vozmushchennykh sistemakh, Fizmatlit, M., 1995, (in Russian).]

15. Кащенко С. А., Майоров В. В., Модели волновой памяти, Книжный дом «ЛИБРОКОМ», М., 2009, 288 с.; [Kashchenko S. A., Mayorov V. V., Modeli volnovoy pamyati, Knizhnyy dom ”LIBROKOM”, M., 2009, 288 pp., (in Russian).]

16. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых цепочках однонаправленно связанных уравнений”, Теоретическая и математическая физика, 175:1 (2013), 62–83; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Periodic traveling-wave-type solutions in circular chains of unidirectionally coupled equations”, Theoretical and Mathematical Physics, 175:1 (2013), 499–517.

17. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Избранные вопросы математической физики и анализа. Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Тр. МИАН, 285, МАИК, М., 2014, 89– 106; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Autowave processes in continual chains of unidirectionally coupled oscillators”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 285, 2014, 81–98.

18. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Теоретическая и математическая физика, 181:2 (2014), 254–275; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Buffering effect in continuous chains of unidirectionally coupled generators”, Theoretical and Mathematical Physics, 181:2 (2014), 1349–1366.

19. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности и хаос в кольцевых цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Доклады Академии наук, 457:3 (2014), 278–281; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Buffer Phenomenon and Chaos in Circular Chains of Unidirectionally Coupled Oscillators”, Doklady Mathematics, 90:1 (2014), 509–513.

20. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности в кольцевых цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Изв. РАН., Сер. матем., 78, 2014, 73–108; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The buffer phenomenon in ring-like chains of unidirectionally connected generators”, Izvestiya: Mathematics, 78, 2014, 708–743.