Особенности динамики уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова с отклонением по пространственной переменной

Рассматривается задача распространения волны плотности в логистическом уравнении с диффузией и отклонением по пространственной переменной (уравнение Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова с отклонением). Для исследования качественного поведения решений этого уравнения было рассмотрено уравнение профиля волны и найдены условия возникновения у него колебательных режимов. Затем проанализирована соответствующая логистическому уравнению с отклонением краевая задача с периодическими условиями, для которой изучена проблема потери устойчивости пространственно однородного состояния равновесия и найдены ответвляющиеся от него пространственно неоднородные колебательные режимы. Численный анализ процесса распространения волны показал, что при достаточно малых значениях запаздывания данное уравнение имеет решения, близкие к решениям стандартного уравнения КПП. Увеличение параметра запаздывания приводит сначала к появлению затухающей колебательной составляющей в пространственном распределении решения. Дальнейший рост данного параметра приводит к разрушению бегущей волны. Это выражается в том, что на участке распространения волны, противоположном направлению отклонения, сохраняются незатухающие по времени и медленно распространяющиеся по пространству колебания, близкие к решениям соответствующей краевой задачи с периодическими граничными условиями. Наконец, если значение отклонения достаточно велико, то во всей области распространения волны наблюдаются интенсивные пространственно-временные колебания.

1. Fisher R. A., “The Wave of Advance of Advantageous Genes”, Annals of Eugenics, 7 (1937), 355–369.

2. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С., “Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме”, Сер. А. Математика и Механика, 1, 1937, 1–26; [French transl.: Kolmogorov A., Petrovsky I., Piscounov N., “Eґtude de l’eґquation de la diffusion avec croissance de la quantiteґ de matie`re et son application a` un proble`me biologique”, Moscou Univ. Bull. Math., 1:6 (1937), 1–25.]

3. Murray J. D., Mathematical Biology. I. An Introduction, Third Edition, Berlin, 2001.

4. Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A., Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes, Kluwer, Dordrecht, 1995.

5. Volpert A., Volpert V., Volpert V., Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems, American Mathematical Society, 2000.

6. Колесов Ю.С., “Математические модели экологии”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, 1979, 3–40; [Kolesov Yu. S., “Matematicheskiye modeli ekologii”, Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy, 1979, 3–40, (in Russian).]

7. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С., Релаксационные колебания в математических моделях экологии, Тр. МИАН, 199, Наука, М., 1993, 126 с.; [Kolesov A. Yu., Kolesov Yu. S., Relaxational oscillations in mathematical models of ecology, Trudy Mat. Inst. Steklov., 199, ed. E. F. Mishchenko, Nauka, Moscow, 1993, 126 pp., (in Russian).]

8. Гурли С.А., Соу Дж.В.-Х., Ву Дж.Х., “Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика”, Современная математика. Фундаментальные направления, 1 (2003), 84–120; [English transl.: Gourley S. A., So J. W.-H., Wu J. H., “Nonlocality of Reaction-Diffusion Equations Induced by Delay: Biological Modeling and Nonlinear Dynamics”, Journal of Mathematical Sciences, 124:4 (2004), 5119–5153, (in Russian).]

9. Britton N. F., Reaction-diffusion equations and their applications to biology, Academic Press, New York, 1986.

10. Britton N. F., “Spatial structures and periodic travelling waves in an integro-differential reaction-diffusion population model”, SIAM J. Appl. Math., 50 (1990), 1663–1688.

11. Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А., “Уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова с запаздыванием”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:2 (2015), 304–321; [Aleshin S. V., Glyzin S. D., Kaschenko S. A., “Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piscounov Equation with Delay”, Modeling and Analysis of Information Systems, 22:2 (2015), 304–321, (in Russian).]

12. Кащенко С.А., “Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией”, ДАН СССР, 292:2 (1987), 327–330; [Kashchenko S. A., “Ob ustanovivshihsja rezhimah uravnenija Hatchinsona s diffuziej”, DAN SSSR, 292:2 (1987), 327–330, (in Russian).]

13. Кащенко С.А., “Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией”, Математическое моделирование, 2:9 (1990), 49–69; [English transl.: Kashchenko S. A., “Spatial heterogeneous structures in the simplest models with delay and diffusion”, Matem. mod., 2:9 (1990), 49–69, (in Russian).]

14. Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Science, 47:7 (2013), 470–494.

15. Глызин С.Д., “Разностные аппроксимации уравнения טּреакция-диффузияя на отрезке”, Моделирование и анализ информационных систем, 16:3 (2009), 96–116; [Glyzin S. D., “Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment”, Modeling and Analysis of Information Systems, 16:3 (2009), 96–116, (in Russian).]

16. Wu J., Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

17. Glyzin S. D., “Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 452–469.

18. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., “Конечномерные модели диффузионного хаоса”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:5 (2010), 860–875; [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Finite-dimensional models of diffusion chaos”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:5 (2010), 816–830, (in Russian).]

19. Schuster H. G., Deterministic Chaos: An Introduction, 3 edition, Wiley-VCH, 1995, 320 Pp.