В данной работе рассматривается конечномерная модель Курамото с инерцией в случае топологии типа "звезда". Система уравнений сводится к нелинейно связанной системе маятниковых уравнений. Мы докажем, что переход от синхронных к асинхронным колебаниям происходит через седлоузловую бифуркацию состояния равновесия. Таким образом, асинхронный режим может представлять собой частично синхронные вращения. Обратный переход от асинхронного режима к синхронному происходит через бифуркацию гомоклинической орбиты как седлового состояния равновесия, так и седловой периодической орбиты. В случае гомоклинической петли седла синхронность возникает только из асинхронного режима без частично синхронных вращений. В случае гомоклинической кривой седловой периодической орбиты в системе имеет место хаотический режим вращения, который приводит к случайному возврату синхронности. Установлено, что переходы туда и обратно происходят с гистерезисом при большой инерции.

Рассматривается задача распространения волны плотности в логистическом уравнении с диффузией и отклонением по пространственной переменной (уравнение Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова с отклонением). Для исследования качественного поведения решений этого уравнения было рассмотрено уравнение профиля волны и найдены условия возникновения у него колебательных режимов. Затем проанализирована соответствующая логистическому уравнению с отклонением краевая задача с периодическими условиями, для которой изучена проблема потери устойчивости пространственно однородного состояния равновесия и найдены ответвляющиеся от него пространственно неоднородные колебательные режимы. Численный анализ процесса распространения волны показал, что при достаточно малых значениях запаздывания данное уравнение имеет решения, близкие к решениям стандартного уравнения КПП. Увеличение параметра запаздывания приводит сначала к появлению затухающей колебательной составляющей в пространственном распределении решения. Дальнейший рост данного параметра приводит к разрушению бегущей волны. Это выражается в том, что на участке распространения волны, противоположном направлению отклонения, сохраняются незатухающие по времени и медленно распространяющиеся по пространству колебания, близкие к решениям соответствующей краевой задачи с периодическими граничными условиями. Наконец, если значение отклонения достаточно велико, то во всей области распространения волны наблюдаются интенсивные пространственно-временные колебания.

В работе продолжено изучение компактификации схемы модулей полустабильных по Гизекеру векторных расслоений на неособой неприводимой проективной алгебраической поверхности S с поляризацией L, локально свободными пучками. Исследуется связь основных компонент функтора модулей допустимых полустабильных пар и основных компонент функтора модулей Гизекера –Маруямы (полустабильных когерентных пучков без кручения) с тем же полиномом Гильберта на поверхности S. Рассматриваемая компактификация получается, если семейства полустабильных по Гизекеру векторных расслоений E на поляризованной неособой проективной поверхности (S,L) пополняются векторными расслоениями E на проективных поляризованных схемах (S,L) специального вида. Вид схемы S, поляризации L и расслоения E описан в тексте работы. Набор ((S,L),E) назван полустабильной допустимой парой. Векторные расслоения E на поверхности (S,L) и E на схемах (S,L) предполагаются имеющими равные ранги и полиномы Гильберта, вычисляемые относительно поляризаций L и L соответственно. Пары вида ((S,L),E), называемые S-парами, также входят в рассматриваемый класс. Поскольку целью исследования является изучение компактификации пространства модулей векторных расслоений, рассматриваются только семейства, содержащие S-пары. Построено естественное преобразование функтора модулей допустимых полустабильных пар в функтор модулей Гизекера – Маруямы полустабильных когерентных пучков без кручения на поверхности (S,L), имеющих те же ранг и полином Гильберта. Показано, что это естественное преобразование является двусторонним обратным к естественному преобразованию, построенному в предшествующей работе и определяемому стандартным разрешением семейства когерентных пучков без кручения, имеющего возможно неприведенную базисную схему. Построенный изоморфизм функторов модулей определяет изоморфизм компактификаций пространства модулей полустабильных векторных расслоений на поверхности (S,L) как алгебраических схем.

Предложен вариант метода коллокаций и наименьших невязок для численного решения уравнения Пуассона в полярных координатах на неравномерных сетках. Путем введения общих криволинейных координат исходное уравнение Пуассона приводится к уравнению Бельтрами. В криволинейных координатах используется равномерная сетка. Неравномерность сетки в плоскости исходных полярных координат обеспечивается с помощью функций, управляющих растяжением сетки и входящих в формулы перехода от полярных координат к криволинейным. Метод верифицирован на двух тестовых задачах, имеющих точные аналитические решения. Результаты расчетов показывают, что если начало радиальной координатной оси не входит в расчетную область, то предлагаемый метод имеет второй порядок точности. Если расчетная область содержит эту сингулярность, то применение неравномерной сетки вдоль радиальной координаты позволяет повысить точность численного решения в 1.7–5 раз по сравнению со случаем равномерной сетки при том же количестве ее узлов.

Рассмотрена периодическая краевая задача для одного нелинейного уравнения с отклоняющимся пространственным аргументом в случае, когда отклонение мало. Данное уравнение называют пространственно нелокальным уравнением эрозии. Оно описывает формирование волнообразного рельефа под воздействием ионной бомбардировки и может быть проинтерпретировано как развитие известной модели Бредли–Харпера. В работе показано, что неоднородный рельеф может появиться при смене устойчивости однородными состояниями равновесия. В данной краевой задаче потеря устойчивости может происходить на высоких модах. Номер такой моды зависит от многих факторов. Например, от угла падения потока. В работе также показано, что данная нелинейная краевая задача может быть включена в класс абстрактных параболических уравнений, разрешимость задачи для которых была изучена в работах П.Е. Соболевского и предполагает использование аналитической теории полугрупп линейных ограниченных операторов. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), таких как: метод интегральных многообразий, нормальных форм Пуанкаре–Дюлака, а также асимптотические методы анализа. При этом разобраны обе задачи, возможные в данной ситуации: коразмерности один и коразмерности два. В частности, были получены асимптотические формулы для решений, которые описывают неоднородный волнообразный рельеф. Изучен вопрос об устойчивости данных решений. Приведен некоторый анализ нормальной формы. Приведены также асимптотические формулы для неоднородных волнообразных решений. В заключении статьи указаны некоторые возможные интерпретации результатов, которые получены в результате анализа данной краевой задачи.

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка с малым множителем при старшей производной. Исследуется вопрос об асимптотике всех собственных значений первой краевой задачи (задачи Дирихле) при стремлении этого множителя к нулю. Показано, что определяющую роль играет поведение коэффициентов уравнения лишь в малых окрестностях точек поворота, то есть таких точек, в которых обращается в нуль коэффициент при первой производной. В качестве основного результата служит теорема о предельных значениях всех собственных чисел первой краевой задачи.

В работе рассматривается уравнение первого порядка с запаздыванием, зависящим от искомой
функции, с нелинейной правой частью. Для этого уравнения предполагаются выполненными усло-
вия существования и единственности решения начальной задачи. Ставится задача исследования
поведения решений рассматриваемого уравнения в малой окрестности его нулевого положения рав-
новесия. Изучение локальной динамики проводится в зависимости от вещественных параметров 첐
коэффициентов тейлоровского разложения правой части. Параметр, являющийся коэффициентом
при линейном члене, имеет два критических значения, определяющих область устойчивости ну-
левого положения равновесия. Чтобы исследовать изменение локальной динамики уравнения при
переходе данного параметра через критические значения, вводится малый параметр и применяет-
ся асимптотический метод нормальных форм. Показывается, что для первого случая в уравнении
имеет место бифуркация обмена устойчивостью, а для второго случая 움 суперкритическая бифур-
кация Андронова – Хопфа (при выполнении достаточного условия). Для каждого из устойчивых
режимов получены их асимптотические разложения по соответствующим малым параметрам. За-
тем в качестве примера рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием, зависящим
от искомой функции. Для этого уравнения бифуркационный параметр имеет единственное кри-
тическое значение. С помощью метода нормальных форм устанавливается простое достаточное
условие возникновения суперкритической бифуркации Андронова – Хопфа в уравнении при пере-
ходе параметра через критическое значение.

Напомним определение сингулярной функции Лебега. Пусть в результате бросания несимметричной монеты с вероятностью p выпадает решка, а с вероятностью q = 1 − p – орел. Пусть бинарное разложение ξ ∈ [0, 1]: ξ =∑∞k=1 ck2−k задается бросанием монеты бесконечно много раз, т.е. ck = 1, если результат k-го бросания – решка, и ck = 0, если – орел. Сингулярная функция Лебега L(t) является функцией распределения случайной величины ξ: L(t) = Prob{ξ < t}. Хорошо известно, что L(t) строго возрастает и ее производная равна нулю почти всюду (p ̸= q). Моменты сингулярной функции Лебега определяются как Mn = Eξn. 
Основной результат работы – следующая оценка: Mn = O(nlog2 p).