Асимптотика моментов сингулярной функции Лебега

Аннотация

Напомним определение сингулярной функции Лебега. Пусть в результате бросания несимметричной монеты с вероятностью p выпадает решка, а с вероятностью q = 1 − p – орел. Пусть бинарное разложение ξ ∈ [0, 1]: ξ =∑∞k=1 ck2−k задается бросанием монеты бесконечно много раз, т.е. ck = 1, если результат k-го бросания – решка, и ck = 0, если – орел. Сингулярная функция Лебега L(t) является функцией распределения случайной величины ξ: L(t) = Prob{ξ < t}. Хорошо известно, что L(t) строго возрастает и ее производная равна нулю почти всюду (p ̸= q). Моменты сингулярной функции Лебега определяются как Mn = Eξn. 
Основной результат работы – следующая оценка: Mn = O(nlog2 p).