Асимптотика моментов сингулярной функции Лебега


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-5-723-730

Полный текст:


Аннотация

Напомним определение сингулярной функции Лебега. Пусть в результате бросания несимметричной монеты с вероятностью p выпадает решка, а с вероятностью q = 1 − p – орел. Пусть бинарное разложение ξ ∈ [0, 1]: ξ =∑∞k=1 ck2−k задается бросанием монеты бесконечно много раз, т.е. ck = 1, если результат k-го бросания – решка, и ck = 0, если – орел. Сингулярная функция Лебега L(t) является функцией распределения случайной величины ξ: L(t) = Prob{ξ < t}. Хорошо известно, что L(t) строго возрастает и ее производная равна нулю почти всюду (p ̸= q). Моменты сингулярной функции Лебега определяются как Mn = Eξn. 
Основной результат работы – следующая оценка: Mn = O(nlog2 p).


Об авторе

Е. А. Tимофеев
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия
Россия
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической информатики


Список литературы

1. Flajolet P., Sedgewick R., Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008.

2. Lomnicki Z., Ulam S. E., “Sur la theorie de la mesure dans les espaces combinatoires et son application au calcul des probabilites. I. Variables independantes”, Fundamenta Mathematicae, 23:1 (1934), 237–278.

3. Salem R., “On some singular monotonic functions which are strictly increasing,”, Trans. Amer. Math. Soc., 53:3 (1943), 427–439.

4. De Rham G., “On Some Curves Defined by Functional Equations”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar (Ed.), Addison-Wesley, 1993, 285–298.

5. Szpankowski W.,, Average Case Analysis of Algorithms on Sequences, John Wiley & Sons, New York, 2001.

6. Gradstein I. S., Ryzhik I. M., Table of integrals, Series, and Products, Academic Press, 1994.

7. Timofeev E. A., “Bias of a nonparametric entropy estimator for Markov measures”, Journal of Mathematical Sciences, 176:2 (2011), 255–269.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Tимофеев Е.А. Асимптотика моментов сингулярной функции Лебега. Моделирование и анализ информационных систем. 2015;22(5):723-730. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-5-723-730

For citation: Timofeev E.A. Asymptotic Formula for the Moments of Lebesgue’s Singular Function. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(5):723-730. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-5-723-730

Просмотров: 363

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)