Численное решение начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения с внутренним переходным слоем


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-3-259-282

Полный текст:


Аннотация

Выведены уравнения эволюции решения типа контрастной структуры обобщен-
ного уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова (ОКПП) с малым параметром при старших производных. Уравнение ОКПП относится к классу псевдопараболических уравнений и описывает разнообразные процессы в физике, химии, биологии, в частности процессы генерации магнитного поля в турбулентной среде, движение фронта концентрации носителей в полупроводниках. Найдена форма и скорость перемещения внутреннего переходного слоя (ВПС). Построен и строго обоснован алгоритм адаптивной сетки (АС) для эффективного численного решения начально-краевой задачи для уравнения ОКПП с движущимся ВПС. Построен алгоритм АС для случая наличия особой точки первого рода, т.е. точки с нулевой скоростью дрейфа ВПС в первом порядке формального асимптотического ряда. Сформулированы достаточные условия того, что ВПС пересекает особую точку за конечное время. Построен алгоритм АС для случая наличия особой точки второго рода, т.е. точки с формально бесконечно большой скоростью дрейфа ВПС в первом порядке. Дано обоснование на основе метода дифференциальных неравенств, построены верхнее и нижнее решение, представлены результаты численного счета.


Об авторе

А. А. Быков
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, 119991, Ленинские Горы, 1
Россия
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математики физического факультета


Список литературы

1. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа, Физматлит, 2007; [Sveshnikov A. G., Al’shin A. B., Korpusov M. O., Pletner Ju. D., Linejnye i nelinejnye uravnenija sobolevskogo tipa, Fizmatlit, 2007, (in Russian).]

2. Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г., “О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 40:8 (2000), 1237–1249; [Korpusov M.O., Pletner Ju.D., Sveshnikov A.G., “O kvazistacionarnyh processah v provodjashhih sredah bez dispersii”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 40:8 (2000), 1237–1249, (in Russian).]

3. Корпусов М.О., Свешников А.Г., “О разрушении за конечное время решений начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с псевдолаплассианом”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 45:2 (2005), 272–286; [Korpusov M. O., Sveshnikov A. G., “O razrushenii za konechnoe vremja reshenij nachalno-kraevyh zadach dlja uravnenij psevdoparabolicheskogo tipa s psevdolaplassianom”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 45:2 (2005), 272–286, (in Russian).]

4. Alshin A. B., Korpusov M. O., Sveshnikov A. G., Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations, De Gruyter, 2011.

5. Korpusov M. O., Sveshnikov A. G., “On blow up of generalized Kolmogorov–Pertovskii–Piskunov equation”, Nonlinear Analysis, 71 (2009), 5724–5732.

6. Pao C. V., Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum, New York, 1992.

7. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Магнитные поля в астрофизике, Ин-т хаотич. динам., Ижевск, 2006; [Zel’dovich Ja. B., Ruzmajkin A. A., Sokolov D. D., Magnitnye polja v astrofizike, In-t haotich. dinam., Izhevsk, 2006, (in Russian).]

8. Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б., “Промежуточные асимптотики в математической физике”, Успехи математических наук, 26:2(158) (1971), 115–129; [Barenblatt G. I., Zel’dovich Ja. B., “Promezhutochnye asimptotiki v matematicheskoj fizike”, Uspehi matematicheskih nauk, 26:2(158) (1971), 115–129, (in Russian).]

9. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, 2-е изд., Наука, М., 1978; [Rozhdestvenskii B. L., Yanenko N. N., Systems of Quasilinear Equations and Their Applications to Gas Dynamics (Translations of Mathematical Monographs vol 55), American Mathematical Society, Providence, 1980, (in English).]

10. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И., Дифференциальные уравнения математической физики, Изд-во МГТУ им. Баумана, Мoscow, 2002; [Martinson L.K., Malov Ju.I., Differencialnye uravnenija matematicheskoj fiziki, Izd-vo MGTU im. Baumana, Moscow, 2002, (in Russian).]

11. Ikeda H., Mimura M., Tsuijikawa T., “Singular Perturbation Approach to Travelling Wave Solutions of the Hodgkin–Huxley Equations and Its Application to Stability Problems”, North–Holland Mathematics Studies, 148 (1987), 1–73.

12. Давыдов А.С., Биология и квантовая механика, Наукова думка, Киев, 1979; [Davydov A. S., Biology and quantum mechanics, Pergamon, Oxford, 1982, (in English).]

13. Volpert V., Petrovskii S., “Reaction–diffusion waves in biology”, Physics of Life Reviews, 6 (2009), 267–310.

14. Kolmogorov A., Petrovsky I., Piskounoff N., “Etude de L’Equations de la diffusion avec croissance de la quantite de matiere et son application a un probleme biologique”, Bull Univ.Moskou, Ser. Internat. 1A, 1937, 1–25.

15. Ma W.X., Fuchssteiner B., “Explicit and exact solutions to a Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation”, Int. J. Non-Linear Mechanics, 31:3 (1996), 329–338.

16. Wei J., Yang J. Solutions with transition layers and spike in an inhomogeneous phase transition models, J. Differential Equations, 246 (2009), 3642–3667.

17. Божевольнов Ю.В., Нефедов Н.Н., “Движение фронта в параболической задаче реакция – диффузия”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:2 (2010), 276–285; [Bozhevol’nov Ju.V., Nefedov N.N., “Dvizhenie fronta v parabolicheskoj zadache reakcija – diffuzija”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 50:2 (2010), 276–285, (in Russian).]

18. Oran E., Boris J., Numerical simulation of reactive flow, Elsevier, N.Y., 1987.

19. Thompson J., Warsi Z., Mastin C., Numerical Grid Generation. Foundations and Applications, Elsevier Sci. Publ. Co., 1985.

20. Eiseman P.R., “Grid Generation for Fluid Mechanics Computations”, Annual Review of Fluid Mechanics, 17 (1985), 487–522.

21. Kolbe N. et al., “A study on time discretization and adaptive mesh refinement methods for the simulation of cancer invasion”, Applied Mathematics and Computation, 273 (2016), 353–376.

22. Philip B. et al. Dynamic implicit 3D adaptive mesh refinement for non-equilibrium radiation diffusion, Journal of Computational Physics, 262 (2014), 17–37.

23. Donat R. et al., “Well-Balanced Adaptive Mesh Refinement for shallow water flows”, Journal of Computational Physics, 257-A (2014), 937–953.

24. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах”, Фундаментальная и прикладная математика, 4:3 (1998), 799–851; [Vasil’eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N., “Kontrastnye struktury v singuljarno vozmushhennyh zadachah.”, Fundamental’naja i prikladnaja matematika, 4:3 (1998), 799–851, (in Russian).]

25. Быков А.А., Попов В.Ю., “О времени жизни одномерных нестационарных контрастных структур”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 309:2 (1999), 280–288; [Bykov A.A, Popov V.Ju., “O vremeni zhizni odnomernyh nestacionarnyh kontrastnyh struktur”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 309:2 (1999), 280–288, (in Russian).]

26. Нефедов Н.Н., “Нестационарные контрастные структуры в системе реакция – диффузия”, Математическое моделирование, 4:8 (1992), 58–65; [Nefedov N.N., “Nestacionarnye kontrastnye struktury v sisteme reakcija – diffuzija”, Matematicheskoe modelirovanie, 4:8 (1992), 58–65, (in Russian).]

27. Кожанов А.И., “Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником”, Математические заметки, 65:1 (1999), 70–75; [Kozhanov A.I., “Nachal’no-kraevaja zadacha dlja uravnenij tipa obobshhennogo uravnenija Bussineska s nelinejnym istochnikom”, Matematicheskie zametki, 65:1 (1999), 70–75, (in Russian).]

28. Kufner A, Fucik S., Nonlinear Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, Oxford, N.Y., 1980.

29. Быков А.А., Нефедов Н.Н., Шарло А.С., “Контрастные структуры для квазилинейного уравнения соболевского типа с несбалансированной нелинейностью”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 54:8 (2014), 1270–1280; [Bykov A.A., Nefedov N.N., Sharlo A.S., “Kontrastnye struktury dlja kvazioinejnogo uravnenija sobolevskogo tipa s nesbalansirovannoj nelinejnost’ju”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 54:8 (2014), 1270–1280, (in Russian).]

30. Быков А.А., Шарло А.С., “Нестационарные контрастные структуры в окрестности с особой точки”, Математическое моделирование, 26:8 (2014), 107–125; [Bykov A.A., Sharlo A.S., “Nestacionarnye kontrastnye struktury v okrestnosti s osoboj tochki”, Matematicheskoe modelirovanie, 26:8 (2014), 107–125, (in Russian).]

31. Калиткин Н.Н., Численные методы, Наука, Мoscow, 1978; [Kalitkin N.N., Chislennye metody, Nauka, M., 1978, (in Russian).]

32. Самарский А.А., Теория разностных схем, Наука, Мoscow, 1977; [Samarskij A.A., Teorija raznostnyh shem, Nauka, M., 1977, (in Russian).]

33. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы, Бином, Лаборатория знаний, 2003; [Bahvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobel’kov G.M., Chislennye metody, Binom, Laboratorija znanij, 2003, (in Russian).]

34. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л., Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями, Высшая Школа, М., 1987; [Samarskij A. A., Lazarov R. D., Makarov V. L., Raznostnye shemy dlja differencialnyh uravnenij s obobshhennymi reshenijami, Vysshaja Shkola, Moscow, 1987, (in Russian).]

35. Fox L., Numerical solution of ordinary and partial differential equations, Oxford Press, Oxford, 1962.

36. Lance G.N., Numerical methods for high speed computers, London, 1960


Дополнительные файлы

Для цитирования: Быков А.А. Численное решение начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения с внутренним переходным слоем. Моделирование и анализ информационных систем. 2016;23(3):259-282. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-3-259-282

For citation: Bykov A.A. Numerical Scheme for the Pseudoparabolic Singularly Perturbed Initial-boundary Problem with Interior Transitional Layer. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(3):259-282. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-3-259-282

Просмотров: 303

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)