Numerical Scheme for the Pseudoparabolic Singularly Perturbed Initial-boundary Problem with Interior Transitional Layer
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-3-259-282
Abstract
Evolution equations are derived for the contrasting-structure-type solution of the gen-eralized Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov (GKPP) equation with the small parameter with high order derivatives. The GKPP equation is a pseudoparabolic equation with third order derivatives. This equation describes numerous processes in physics, chemistry, biology, for example, magnetic field generation in a turbulent medium and the moving front for the carriers in semiconductors. The profile of the moving internal transitional layer (ITL) is found, and an expression for drift speed of the ITL is derived. An adaptive mesh (AM) algorithm for the numerical solution of the initial-boundary value problem for the GKPP equation is developed and rigorously substantiated. AM algorithm for the special point of the first kind is developed, in which drift speed of the ITL in the first order of the asymptotic expansion turns to zero. Sufficient conditions for ITL transitioning through the special point within finite time are formulated. AM algorithm for the special point of the second kind is developed, in which drift speed of the ITL in the first order formally turns to infinity. Substantiation of the AM method is given based on the method of differential inequalities. Upper and lower solutions are derived. The results of the numerical algorithm are presented.
About the Author
A. A. Bykov
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University
Russian Federation
Moscow, 119991, Leninskiye gory, 1, b. 2, Russian Federation, Doctor of Phys.-Math. Sciences, Department of Mathematics
Russian Federation
Moscow, 119991, Leninskiye gory, 1, b. 2, Russian Federation, Doctor of Phys.-Math. Sciences, Department of Mathematics
References
1. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа, Физматлит, 2007; [Sveshnikov A. G., Al’shin A. B., Korpusov M. O., Pletner Ju. D., Linejnye i nelinejnye uravnenija sobolevskogo tipa, Fizmatlit, 2007, (in Russian).]
2. Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г., “О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 40:8 (2000), 1237–1249; [Korpusov M.O., Pletner Ju.D., Sveshnikov A.G., “O kvazistacionarnyh processah v provodjashhih sredah bez dispersii”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 40:8 (2000), 1237–1249, (in Russian).]
3. Корпусов М.О., Свешников А.Г., “О разрушении за конечное время решений начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с псевдолаплассианом”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 45:2 (2005), 272–286; [Korpusov M. O., Sveshnikov A. G., “O razrushenii za konechnoe vremja reshenij nachalno-kraevyh zadach dlja uravnenij psevdoparabolicheskogo tipa s psevdolaplassianom”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 45:2 (2005), 272–286, (in Russian).]
4. Alshin A. B., Korpusov M. O., Sveshnikov A. G., Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations, De Gruyter, 2011.
5. Korpusov M. O., Sveshnikov A. G., “On blow up of generalized Kolmogorov–Pertovskii–Piskunov equation”, Nonlinear Analysis, 71 (2009), 5724–5732.
6. Pao C. V., Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum, New York, 1992.
7. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Магнитные поля в астрофизике, Ин-т хаотич. динам., Ижевск, 2006; [Zel’dovich Ja. B., Ruzmajkin A. A., Sokolov D. D., Magnitnye polja v astrofizike, In-t haotich. dinam., Izhevsk, 2006, (in Russian).]
8. Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б., “Промежуточные асимптотики в математической физике”, Успехи математических наук, 26:2(158) (1971), 115–129; [Barenblatt G. I., Zel’dovich Ja. B., “Promezhutochnye asimptotiki v matematicheskoj fizike”, Uspehi matematicheskih nauk, 26:2(158) (1971), 115–129, (in Russian).]
9. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, 2-е изд., Наука, М., 1978; [Rozhdestvenskii B. L., Yanenko N. N., Systems of Quasilinear Equations and Their Applications to Gas Dynamics (Translations of Mathematical Monographs vol 55), American Mathematical Society, Providence, 1980, (in English).]
10. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И., Дифференциальные уравнения математической физики, Изд-во МГТУ им. Баумана, Мoscow, 2002; [Martinson L.K., Malov Ju.I., Differencialnye uravnenija matematicheskoj fiziki, Izd-vo MGTU im. Baumana, Moscow, 2002, (in Russian).]
11. Ikeda H., Mimura M., Tsuijikawa T., “Singular Perturbation Approach to Travelling Wave Solutions of the Hodgkin–Huxley Equations and Its Application to Stability Problems”, North–Holland Mathematics Studies, 148 (1987), 1–73.
12. Давыдов А.С., Биология и квантовая механика, Наукова думка, Киев, 1979; [Davydov A. S., Biology and quantum mechanics, Pergamon, Oxford, 1982, (in English).]
13. Volpert V., Petrovskii S., “Reaction–diffusion waves in biology”, Physics of Life Reviews, 6 (2009), 267–310.
14. Kolmogorov A., Petrovsky I., Piskounoff N., “Etude de L’Equations de la diffusion avec croissance de la quantite de matiere et son application a un probleme biologique”, Bull Univ.Moskou, Ser. Internat. 1A, 1937, 1–25.
15. Ma W.X., Fuchssteiner B., “Explicit and exact solutions to a Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation”, Int. J. Non-Linear Mechanics, 31:3 (1996), 329–338.
16. Wei J., Yang J. Solutions with transition layers and spike in an inhomogeneous phase transition models, J. Differential Equations, 246 (2009), 3642–3667.
17. Божевольнов Ю.В., Нефедов Н.Н., “Движение фронта в параболической задаче реакция – диффузия”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:2 (2010), 276–285; [Bozhevol’nov Ju.V., Nefedov N.N., “Dvizhenie fronta v parabolicheskoj zadache reakcija – diffuzija”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 50:2 (2010), 276–285, (in Russian).]
18. Oran E., Boris J., Numerical simulation of reactive flow, Elsevier, N.Y., 1987.
19. Thompson J., Warsi Z., Mastin C., Numerical Grid Generation. Foundations and Applications, Elsevier Sci. Publ. Co., 1985.
20. Eiseman P.R., “Grid Generation for Fluid Mechanics Computations”, Annual Review of Fluid Mechanics, 17 (1985), 487–522.
21. Kolbe N. et al., “A study on time discretization and adaptive mesh refinement methods for the simulation of cancer invasion”, Applied Mathematics and Computation, 273 (2016), 353–376.
22. Philip B. et al. Dynamic implicit 3D adaptive mesh refinement for non-equilibrium radiation diffusion, Journal of Computational Physics, 262 (2014), 17–37.
23. Donat R. et al., “Well-Balanced Adaptive Mesh Refinement for shallow water flows”, Journal of Computational Physics, 257-A (2014), 937–953.
24. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах”, Фундаментальная и прикладная математика, 4:3 (1998), 799–851; [Vasil’eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N., “Kontrastnye struktury v singuljarno vozmushhennyh zadachah.”, Fundamental’naja i prikladnaja matematika, 4:3 (1998), 799–851, (in Russian).]
25. Быков А.А., Попов В.Ю., “О времени жизни одномерных нестационарных контрастных структур”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 309:2 (1999), 280–288; [Bykov A.A, Popov V.Ju., “O vremeni zhizni odnomernyh nestacionarnyh kontrastnyh struktur”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 309:2 (1999), 280–288, (in Russian).]
26. Нефедов Н.Н., “Нестационарные контрастные структуры в системе реакция – диффузия”, Математическое моделирование, 4:8 (1992), 58–65; [Nefedov N.N., “Nestacionarnye kontrastnye struktury v sisteme reakcija – diffuzija”, Matematicheskoe modelirovanie, 4:8 (1992), 58–65, (in Russian).]
27. Кожанов А.И., “Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником”, Математические заметки, 65:1 (1999), 70–75; [Kozhanov A.I., “Nachal’no-kraevaja zadacha dlja uravnenij tipa obobshhennogo uravnenija Bussineska s nelinejnym istochnikom”, Matematicheskie zametki, 65:1 (1999), 70–75, (in Russian).]
28. Kufner A, Fucik S., Nonlinear Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, Oxford, N.Y., 1980.
29. Быков А.А., Нефедов Н.Н., Шарло А.С., “Контрастные структуры для квазилинейного уравнения соболевского типа с несбалансированной нелинейностью”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 54:8 (2014), 1270–1280; [Bykov A.A., Nefedov N.N., Sharlo A.S., “Kontrastnye struktury dlja kvazioinejnogo uravnenija sobolevskogo tipa s nesbalansirovannoj nelinejnost’ju”, Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki, 54:8 (2014), 1270–1280, (in Russian).]
30. Быков А.А., Шарло А.С., “Нестационарные контрастные структуры в окрестности с особой точки”, Математическое моделирование, 26:8 (2014), 107–125; [Bykov A.A., Sharlo A.S., “Nestacionarnye kontrastnye struktury v okrestnosti s osoboj tochki”, Matematicheskoe modelirovanie, 26:8 (2014), 107–125, (in Russian).]
31. Калиткин Н.Н., Численные методы, Наука, Мoscow, 1978; [Kalitkin N.N., Chislennye metody, Nauka, M., 1978, (in Russian).]
32. Самарский А.А., Теория разностных схем, Наука, Мoscow, 1977; [Samarskij A.A., Teorija raznostnyh shem, Nauka, M., 1977, (in Russian).]
33. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы, Бином, Лаборатория знаний, 2003; [Bahvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobel’kov G.M., Chislennye metody, Binom, Laboratorija znanij, 2003, (in Russian).]
34. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л., Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями, Высшая Школа, М., 1987; [Samarskij A. A., Lazarov R. D., Makarov V. L., Raznostnye shemy dlja differencialnyh uravnenij s obobshhennymi reshenijami, Vysshaja Shkola, Moscow, 1987, (in Russian).]
35. Fox L., Numerical solution of ordinary and partial differential equations, Oxford Press, Oxford, 1962.
36. Lance G.N., Numerical methods for high speed computers, London, 1960
Review
For citations:
Bykov A.A. Numerical Scheme for the Pseudoparabolic Singularly Perturbed Initial-boundary Problem with Interior Transitional Layer. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(3):259-282. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-3-259-282
Views:
969
Email this article 