Аналитические решения нелинейного уравнения конвекции–диффузии с нелинейными источниками

Нелинейные уравнения типа конвекции–диффузии с нелинейными источниками встречаются при описании многих процессов и явлений в физике, механике и биологии. В работе рассматривается семейство нелинейных дифференциальных уравнений, являющееся редукцией к переменным бегущей волны для нелинейного уравнения конвекции–диффузии с полиномиальными источниками. Исследуется вопрос о построении общего аналитического решения данного уравнения. Рассмотрены как стационарный, так и не стационарный случаи при учете и без учета конвекции. Для построения аналитических решений используется подход, основанный на применении нелокальных преобразований, обобщающих преобразования Зундмана. Показано, что в стационарном случае без учета конвекции общее аналитическое решение может быть найдено без ограничений на параметры уравнения и выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса. Поскольку в общем случае данное решение имеет громоздкий вид, найдены ограничения на параметры, при которых оно имеет простой вид, и в явном виде построены соответствующие аналитические решения. Показано, что в нестационарном случае, как при учете конвекции, так и в случае её отсутствия, общее решение исследуемого уравнения может быть построено при некоторых ограничениях на параметры. С этой целью использованы недавно полученные критерии интегрируемости для уравнений типа Льенара. Соответствующие общие аналитические решения исследуемого уравнения, выраженные через показательные или эллиптические функции, построены в явном виде.

1. J. D. Murray, Mathematical Biology. I. An Introduction, Springer-Verlag, Berlin, 2001, 556 pp.

2. N.A. Kudryashov, A.S. Zakharchenko, “A note on solutions of the generalized Fisher equation”, Appl. Math. Lett., 32 (2014), 43–56

3. A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton-London-New York, 2011, 112 pp.

4. M. Sabatini, “On the period function of x뜨뜨+ f(x)x뢸2 + g(x) = 0”, J. Differ. Equ., 196(2004), 151–168

5. V.K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, M. Lakshmanan, “On the complete integrability and linearization of certain second-order nonlinear ordinary differential equations”, Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci., 461 (2005), 2451–2476

6. A.K. Tiwari, S.N. Pandey, M. Senthilvelan, M. Lakshmanan, “Classification of Lie point symmetries for quadratic Lienard type equation xЁ + f(x)x˙2 + g(x) = 0”, J. Math. Phys., 54 (2013), 053506

7. N.A. Kudryashov, D.I. Sinelshchikov, “On the criteria for integrability of the Lienard equation”, Appl. Math. Lett., 57 (2016), 114–120

8. N.A. Kudryashov, D.I. Sinelshchikov, “On the connection of the quadratic Lienard equation with an equation for the elliptic functions”, Regul. Chaotic Dyn., 20 (2015), 486–496

9. N.A. Kudryashov, D.I. Sinelshchikov, “Analytical solutions for problems of bubble dynamics”, Phys. Lett. A, 379 (2015), 798–802

10. N.A. Kudryashov, D.I. Sinelshchikov, “Analytical solutions of the Rayleigh equation for empty and gas-filled bubble”, J. Phys. A Math. Theor., 47 (2014), 405202

11. W. Nakpim, S.V. Meleshko, “Linearization of Second-Order Ordinary Differential Equations by Generalized Sundman Transformations”, Symmetry, Integr. Geom. Methods Appl., 6 (2010), 1–11 a

12. S. Moyo, S.V. Meleshko, “Application of the generalised Sundman transformation to the linearisation of two second-order ordinary differential equations”, J. Nonlinear Math. Phys., 12 (2011), 213–236

13. E.L. Ince, Ordinary differential equations, Dover, New York, 1956

14. E. Hille, Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, Dover Publications, Mineola, 1997

15. E.T. Whittaker, G.N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1927