Существование и устойчивость периодических решений уравнения реакция-диффузия в двумерном случае

Параболические сингулярно возмущенные задачи активно исследуются в последние годы в связи с большим количеством практических применений: химическая кинетика, синергетика, астрофизика, биология и т.д. В этой работе исследуется сингулярно возмущенная периодическая задача для параболического уравнения реакция-диффузия в двумерном случае. Рассматривается случай существования внутреннего переходного слоя при несбалансированной нелинейности. Внутренний слой локализован вблизи так называемой кривой переходного слоя. Cтроится асимптотическое разложение решения и определяется асимптотика для кривой переходного слоя. Асимптотическое разложение состоит из регулярной части, внутреннего слоя и части пограничного слоя. В этой работе мы сфокусируем внимание на части внутреннего переходного слоя. С целью его описания вводится локальная система координат в окрестности кривой перехода и используются растянутые переменные. Чтобы обосновать таким образом построенную асимптотику, используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Верхнее и нижнее решения строятся путем достаточно сложной модификации асимптотического разложения решения. Асимптотическая устойчивость решения по Ляпунову доказывается с помощью метода сужающихся барьеров. Этот метод базируется на принципе дифференциальных неравенств, и в нем используются верхнее и нижнее решения, которые экспоненциально стремятся к решению задачи. Как результат, решение является локально единственным.
Статья публикуется в авторской редакции.

1. N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schnieder, “Existence and asymptotic stability of periodic solutions with an interior layer of reaction-advection-diffusion equations.”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 405 (2013), 90–103.

2. N. N. Nefedov, M. A. Davydova, “Contrast structures in singularly perturbed quasilinear reaction-diffusion-advection equations.”, Differentsial’nye Uravneniya, 49 (2013), 715– 733.

3. N.N. Nefedov, L. Recke, K.R. Schneider, “Asymptotic stability via the Krein-Rutman theorem for singularly perturbed parabolic periodic-Dirichlet problems.”, Regular and Chaotic Dynamics, 15 (2010), 382–389.

4. N.N. Nefedov, “The method of differential inequalities for some classes of nonlinear singularly perturbed problems with internal layers.”, Differ. Uravn., 31 (1995), 1142– 1149.

5. V.T. Volkov and N.N. Nefedov, “Development of the asymptotic method of differential inequalities for investigation of periodic contrast structures in reacton-diffusion-advection equations.”, Differ. Uravn., 46 (2006), 585–593.

6. A.B. Vasil’eva and V. F. Butuzov, Asymptotic Expansions of the Solutions of Singularly Perturbed Equations (in Russian), Nauka, Moscow, 1973.

7. P. Hess, Periodic-Parabolic Boundary Value Problems and Positivity, Pitman Research Notes in Math. Series 247, Longman Scientific&Technical, 1991.

8. D.H. Sattinger, Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems, Indiana Math. J. V. 21, N11, (1972), 979–1001.

9. P. Fife, M. Tang, “Comparison principles for reaction-diffusion systems: Irregular comparison functions and applications to question of stability and speed propagation of front.”, J. Diff. Equations., 40 (1981), 168–175.

10. V.T. Volkov and N.N. Nefedov, “O periodicheskikh resheniyakh s pogranichnymi sloyami odnoy singulyarno vozmushchennoy modeli reaktsiya-diffuziya.”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 34 (1994), 1307–1315.

11. N. N. Nefedov, “Development of the Asymptotic Method of Differential Inequalities for Investigation of Periodic Contrast Structures in Reaction–Diffusion Equations.”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46 (2006), 614–622.

12. N. N. Nefedov, “Comparison Principle for Reaction-Diffusion-Advection Problems with Boundary and Internal Layers.”, Lecture Notes in Computer Science, 8236 (2013), 62–72.

13. N. N. Nefedov, O. E. Omel’chenko, “Periodic Step-Like Contrast Structures for a Singularly Perturbed Parabolic Equation.”, Differ. Uravn., 36 (2000), 209–218.

14. N. N. Nefedov, “An Asymptotic Method of Differential Inequalities for the Investigation of Periodic Contrast Structures: Existence, Asymptotics, and Stability.”, Differ. Uravn., 36 (2000), 262–269.

15. A. B. Vasil’eva, V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, “Kontrastnye struktury v singulyarno vozmushchennykh zadachakh.”, Fundamental’naya i prikladnaya matematika, 4 (1998), 799–851.

16. C.V. Pao, Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum Press, New York and London, 1992.

17. Amman H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations in nonlinear analysis New York: Acad. Press, 1978.