Численные методы решения задач Коши с контрастными структурами
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-529-538
Аннотация
Изложены современные численные методы, позволяющие наиболее эффективно рассчитывать задачи с контрастными структурами. К ним относятся явно-неявные схемы Розенброка с комплексными коэффициентами и чисто неявные оптимальные обратные схемы Рунге-Кутты. В качестве аргумента целесообразно выбирать длину дуги интегральной кривой. Этот аргумент обеспечивает высокую надежность расчета и существенно снижает трудоемкость для систем уравнений невысокого порядка. Для повышения экономичности предложен алгоритм автоматического выбора шага по кривизне интегральной кривой. Этот алгоритм не уступает стандартным алгоритмам по экономичности, но существенно превосходит их по надежности. Показано, что при этом можно одновременно вычислять апостериорную асимптотически точную оценку погрешности методом Ричардсона. Стандартные алгоритмы автоматического выбора шага не могут дать таких оценок, а фактическая погрешность у них нередко на много порядков превышает заданную пользователем. Исследованы границы применимости численных методов. При решении задач сверхвысокой жесткости они могут не дать удовлетворительного ответа; в этих случаях следует переходить к приближенным аналитическим методам. Таким образом, численные и асимптотические методы являются взаимно дополняющими.
Об авторах
А. А. Белов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Ленинские горы, 1, стр. 2, г. Москва, 119991 Россия
Россия
аспирант
Россия
аспирант
Н. Н. Калиткин
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Миусская пл., 4, г. Москва, 125047 Россия
Россия
член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор
Россия
член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор
Список литературы
1. Hairer E., Wanner G., Solving ordinary differential equations. Stiff and differentialalgebraic problems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tolyo, 1999.
2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н., “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах”, Фундаментальная и прикладная математика, 4:3 (1998), 799–851.
3. Rosenbrock H. H., “Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations”, Comput. J., 5:4 (1963), 329–330.
4. Ширков П. Д., “Оптимально затухающие схемы с комплексными коэффициентами для жестких систем ОДУ”, Матем. моделирование, 4:8 (1992), 47–57.
5. Альшин А. Б., Альшина Е. А., Лимонов А. Г., “Двухстадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2009, № 2, 270–287.
6. Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П., “Обратные Ls-устойчивые схемы Рунге-Кутты”, Доклады Академии Наук, 442:2 (2012), 175–180.
7. Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П., “Вычисления с использованием обратных схем Рунге–Кутты”, Матем. моделирование, 25:10 (2013), 79–96.
8. Белов А. А., Калиткин Н. Н., Пошивайло И. П., “Геометрически-адаптивные сетки для жестких задач Коши”, Доклады Академии наук, 466:3 (2016), 276–281.
9. Калиткин Н. Н., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В., Вычисления на квазиравномерных сетках, Физматлит, М., 2005.
10. Альшина Е. А., Калиткин Н. Н., Корякин П. В., “Диагностика особенностей точного решения методом сгущения сеток”, Доклады Академии наук, 404:3 (2005), 295–299.
11. Альшина Е. А., Калиткин Н. Н., Корякин П. В., “Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 45:10 (2005), 1837–1847.
12. Белов A. A., “Численное обнаружение и исследование сингулярностей решения дифференциальных уравнений”, Доклады Академии наук, 468:1 (2016), 21–25.
Рецензия
Для цитирования:
Белов А.А., Калиткин Н.Н. Численные методы решения задач Коши с контрастными структурами. Моделирование и анализ информационных систем. 2016;23(5):529-538. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-529-538
For citation:
Belov A.A., Kalitkin N.N. Numerical Methods of Solving Cauchy Problems with Contrast Structures. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(5):529-538. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-529-538
Просмотров:
1163
Послать статью по эл. почте 