Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-595-602

Полный текст:


Аннотация

Напомним, что сингулярная функция Лебега \(L(t)\) определяется как единственное решение уравнения
$$
L(t) = qL(2t) +pL(2t-1),
$$
где \(p,q>0, q=1-p, p\ne q\).
Моментами функции \(L(t)\) будем называть величины
$$
M_n = \int_0^1t^n dL(t), \quad n = 0, 1, \dots
$$
Основной результат настоящей работы
$$
M_n =
n^{\log_2 p} e^{-\tau(n)}\left(1 + \mathcal{O}(n^{-0.99})\right),
$$
где функция \(\tau(x)\) является периодической от \(\log_2x\) с периодом 1 и задается как
$$
\tau(x) =
\frac12\ln p + \Gamma'(1)\log_2 p +\frac1{\ln 2}\frac{\partial}{\partial z}\left.Li_{z}\left(-\frac{q}{p}\right)\right|_{z=1}
\\
+\frac1{\ln 2}\sum_{k\ne0}
\Gamma(z_k)Li_{z_k+1}\left(-\frac{q}{p}\right) x^{-z_k},
$$
$$
z_k = \frac{2\pi ik}{\ln 2}, \ \ k\ne 0.
$$
Доказательство основано на применении пуассонизации и преобразования Меллина.


Об авторе

Е. А. Tимофеев
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия
Россия
доктор физ.-мат. наук, профессор


Список литературы

1. Flajolet P., Sedgewick R., Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008.

2. Lomnicki Z., Ulam S. E., “Sur la theorie de la mesure dans les espaces combinatoires et son application au calcul des probabilites. I. Variables independantes”, Fundamenta Mathematicae, 23:1 (1934), 237–278.

3. NIST Handbook of Mathematical Functions, ed. Olver F.W.J., Cambridge University Press, 2010.

4. Salem R., “On some singular monotonic functions which are strictly increasing,”, Trans. Amer. Math. Soc., 53:3 (1943), 427–439.

5. De Rham G., “On Some Curves Defined by Functional Equations”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 285–298.

6. Flajolet P., Gourdon X., Dumas P., “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”, Theoretical Computer Science, 144:1–2 (1995), 3–58.

7. Szpankowski W., Average Case Analysis of Algorithms on Sequences, John Wiley & Sons, New York, 2001.

8. Gradstein I. S., Ryzhik I. M., Table of integrals, Series, and Products, Academic Press, 1994.

9. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I., Integrals and Series, More Special Functions, 3, Gordon & Breach Sci., New York, 1990.

10. Timofeev E. A., “Bias of a nonparametric entropy estimator for Markov measures”, Journal of Mathematical Sciences, 176:2 (2011), 255–269.

11. Тимофеев Е. А., “Асимптотика моментов сингулярной функции Лебега”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 723–730.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Tимофеев Е.А. Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега. Моделирование и анализ информационных систем. 2016;23(5):595-602. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-595-602

For citation: Timofeev E.A. Polylogarithms and the Asymptotic Formula for the Moments of Lebesgue’s Singular Function. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(5):595-602. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-595-602

Просмотров: 634

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)