Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-595-602
Аннотация
Напомним, что сингулярная функция Лебега \(L(t)\) определяется как единственное решение уравнения
$$
L(t) = qL(2t) +pL(2t-1),
$$
где \(p,q>0, q=1-p, p\ne q\).
Моментами функции \(L(t)\) будем называть величины
$$
M_n = \int_0^1t^n dL(t), \quad n = 0, 1, \dots
$$
Основной результат настоящей работы
$$
M_n =
n^{\log_2 p} e^{-\tau(n)}\left(1 + \mathcal{O}(n^{-0.99})\right),
$$
где функция \(\tau(x)\) является периодической от \(\log_2x\) с периодом 1 и задается как
$$
\tau(x) =
\frac12\ln p + \Gamma'(1)\log_2 p +\frac1{\ln 2}\frac{\partial}{\partial z}\left.Li_{z}\left(-\frac{q}{p}\right)\right|_{z=1}
\\
+\frac1{\ln 2}\sum_{k\ne0}
\Gamma(z_k)Li_{z_k+1}\left(-\frac{q}{p}\right) x^{-z_k},
$$
$$
z_k = \frac{2\pi ik}{\ln 2}, \ \ k\ne 0.
$$
Доказательство основано на применении пуассонизации и преобразования Меллина.
Ключевые слова
Об авторе
Е. А. TимофеевРоссия
доктор физ.-мат. наук, профессор
Список литературы
1. Flajolet P., Sedgewick R., Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008.
2. Lomnicki Z., Ulam S. E., “Sur la theorie de la mesure dans les espaces combinatoires et son application au calcul des probabilites. I. Variables independantes”, Fundamenta Mathematicae, 23:1 (1934), 237–278.
3. NIST Handbook of Mathematical Functions, ed. Olver F.W.J., Cambridge University Press, 2010.
4. Salem R., “On some singular monotonic functions which are strictly increasing,”, Trans. Amer. Math. Soc., 53:3 (1943), 427–439.
5. De Rham G., “On Some Curves Defined by Functional Equations”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 285–298.
6. Flajolet P., Gourdon X., Dumas P., “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”, Theoretical Computer Science, 144:1–2 (1995), 3–58.
7. Szpankowski W., Average Case Analysis of Algorithms on Sequences, John Wiley & Sons, New York, 2001.
8. Gradstein I. S., Ryzhik I. M., Table of integrals, Series, and Products, Academic Press, 1994.
9. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I., Integrals and Series, More Special Functions, 3, Gordon & Breach Sci., New York, 1990.
10. Timofeev E. A., “Bias of a nonparametric entropy estimator for Markov measures”, Journal of Mathematical Sciences, 176:2 (2011), 255–269.
11. Тимофеев Е. А., “Асимптотика моментов сингулярной функции Лебега”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 723–730.
Рецензия
Для цитирования:
Tимофеев Е.А. Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега. Моделирование и анализ информационных систем. 2016;23(5):595-602. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-595-602
For citation:
Timofeev E.A. Polylogarithms and the Asymptotic Formula for the Moments of Lebesgue’s Singular Function. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(5):595-602. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-5-595-602