Асимптотическое интегрирование одного линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием

В работе строятся асимптотические формулы для решений одного линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием при стремлении независимой переменной к бесконечности. Следует отметить две особенности, касающиеся рассматриваемого уравнения. Во-первых, коэффициент этого уравнения имеет колебательно убывающий вид. Во-вторых, при нулевом запаздывании это уравнение переходит в так называемое одномерное уравнение Шредингера с нулевой энергией и потенциалом типа Вигнера–фон Неймана. Динамика решений последнего хорошо известна. В этой связи интерес представляет вопрос о том, как изменяется характер поведения решений этого уравнения в качественном и количественном отношении при введении в эту динамическую модель запаздывания. Рассматриваемое уравнение интересно также и с позиции теории колебаний решений функционально-дифференциальных уравнений. Используемая в работе методика асимптотического интегрирования опирается на идеологию теории центральных многообразий в ее изложении применительно к системам функционально-дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Суть метода сводится к построению так называемого критического многообразия в фазовом пространстве динамической системы. Это многообразие является притягивающим и положительно инвариантным, а значит, динамика всех решений исходного уравнения определяется динамикой решений на критическом многообразии. Система, описывающая динамику решений на критическом многообразии, представляет собой линейную систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении асимптотики решений этой системы используются усредняющие замены переменных и замены, позволяющие диагонализировать переменные матрицы. В результате подобных преобразований система на критическом многообразии приводится к так называемому L-диагональному виду. Асимптотика фундаментальной матрицы L-диагональной системы может быть построена с помощью классической теоремы Н. Левинсона.

асимптотика, уравнение с запаздыванием, уравнение Шредингера, осциллирующие коэффициенты, колеблемость решений, теорема Левинсона, метод усреднения

1. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1954.

2. Бурд В.Ш., Каракулин В. А., “Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами”, Матем. заметки, 64:5 (1998), 658–666.

3. Итс А. Р., “Асимптотическое поведение решений радиального уравнения Шредингера с осциллирующим потенциалом при нулевой энергии”, Проблемы математической физики. Сб. статей, 9, Изд-во Ленинградского ун-та, Ленинград, 1979, 30–41.

4. Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.

5. Кондратьев В. А., “Элементарный вывод необходимого и достаточного условия неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка”, УМН, 12:3(75) (1957), 159–160.

6. Левин А.Ю., “Интегральный критерий неосцилляционности для уравнения x¨ + q(t)x = 0”, УМН, 20:2(122) (1965), 244–246.

7. Левин А.Ю., “Поведение решений уравнения x¨ + p(t) ˙x + q(t)x = 0 в неколебательном случае”, Матем. сб., 75(117):1 (1968), 39–63.

8. Нестеров П. Н., “Построение асимптотики решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом”, Матем. заметки, 80:2 (2006), 240–250.

9. Нестеров П. Н., “Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами”, Дифференц. уравнения, 43:6 (2007), 731–742.

10. Agarwal R. P., Bohner M., Li W.-T., Nonoscillation and oscillation: theory for functional differential equations, Dekker, New York, 2004.

11. Berezansky L., Braverman E., “Some oscillation problems for a second order linear delay differential equation”, J. Math. Anal. Appl., 220:2 (1998), 719–740.

12. Bodine S., Lutz D. A., “Asymptotic analysis of solutions of a radial Schr¨odinger equation with oscillating potential”, Math. Nachr., 279:15 (2006), 1641–1663.

13. Burd V., Nesterov P., “Asymptotic behaviour of solutions of the difference Schro¨odinger equation”, J. Difference Equ. Appl., 17:11 (2011), 1555–1579.

14. Cassell J. S., “The asymptotic behaviour of a class of linear oscillators”, Quart. J. Math., 32:3 (1981), 287–302.

15. Cassell J. S., “The asymptotic integration of some oscillatory differential equations”, Quart. J. Math., 33:2 (1982), 281–296.

16. Eastham M. S. P., The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989.

17. Erbe L. H., Kong Q., Zhang B. G., Oscillation theory for functional differential equations, Dekker, New York, 1995.

18. Ladde G. S., Lakshmikantham V., Zhang B. G., Oscillation theory of differential equations with deviating arguments, Dekker, New York-Basel, 1987.

19. Nesterov P., “Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients: a center manifold approach”, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2016, № 33, 1–43.

20. Opluˇstil Z., Sremr J., “Some oscillation criteria for the second-order linear delay differential equation”, Math. Bohem., 136:2 (2011), 195–204.

21. Opluˇstil Z., Sremr J., “Myshkis type oscillation criteria for second-order linear delay differential equations”, Monatsh. Math., 178:1 (2015), 143–161.