Об асимптотике решений гармонического осциллятора с интегральным возмущением
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-64-81
Аннотация
В работе строятся асимптотические формулы для решений гармонического осциллятора с интегральным возмущением при стремлении независимой переменной к бесконечности. Особенностью рассматриваемого интегрального возмущения является колебательно убывающий характер его ядра. Предполагается, что интегральное ядро является вырожденным. Данное обстоятельство позволяет свести исходное интегро-дифференциальное уравнение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении асимптотических формул для базисных решений полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений используется специальный метод асимптотического интегрирования линейных динамических систем с колебательно убывающими коэффициентами. В результате серии специальных преобразований система обыкновенных дифференциальных уравнений приводится к так называемому L-диагональному виду. Асимптотика фундаментальной матрицы L-диагональной системы может быть построена с помощью классической теоремы Н. Левинсона. Полученные асимптотические формулы позволяют выявить так называемые резонансные частоты, т. е. частоты колебательной составляющей ядра, при которых у исходного интегро-дифференциального уравнения имеются неограниченные решения. Как оказывается, эти частоты несколько отличаются от резонансных частот в адиабатическом осцилляторе с синусоидальной колебательной составляющей убывающего во времени возмущения.
Ключевые слова
асимптотика,
интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра,
гармонический осциллятор,
колебательно убывающие ядра,
метод усреднения,
теорема Левинсона
При поддержке: грант Президента РФ
Об авторе
Павел Николаевич Нестеров
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
канд. физ.-мат. наук, доцент,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003
Список литературы
1. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1954; English transl.: [Bellman R., Stability theory of differential equations, McGrawHill, New York, 1953.]
2. Бурд В.Ш., Каракулин В. А., “Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами”, Матем. заметки, 64:5 (1998), 658–666.
3. Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.
4. Нестеров П. Н., “Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами”, Дифференц. уравнения, 43:6 (2007), 731–742.
5. Нестеров П. Н., Агафончиков Е. Н., “Особенности колебания решений адиабатических осцилляторов с запаздыванием”, Модел. и анализ информ. систем, 20:5 (2013), 25–44.
6. Burton T. A., Volterra integral and differential equations, Elsevier, Amsterdam, 2005.
7. Eastham M. S. P., The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989.
8. Grace S. R., Lalli B. S., “Asymptotic behaviour of certain second order integro-differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 76 (1980), 84–90.
9. Harris Jr. W. A., Lutz D. A., “Asymptotic integration of adiabatic oscillators”, J. Math. Anal. Appl., 51:1 (1975), 76–93.
10. Harris Jr. W. A., Lutz D. A., “A unified theory of asymptotic integration”, J. Math. Anal. Appl., 57:3 (1977), 571–586.
11. Levinson N., “The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations”, Duke Math. J., 15:1 (1948), 111–126.
12. Naulin R., Vanegas C. J., “Asymptotic formulas for the solutions of integro-differential equations”, Acta Math. Hungar., 89:4 (2000), 281–299.
13. Nesterov P., “Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients”, Monatsh. Math., 171 (2013), 217–240.
14. Wintner A., “The adiabatic linear oscillator”, Amer. J. Math., 68 (1946), 385–397.
15. Wintner A., “Asymptotic integration of the adiabatic oscillator”, Amer. J. Math., 69 (1946), 251–272.
16. Yang E. H., “Asymptotic behaviour of certain second order integro-differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 106 (1985), 132–139.
Рецензия
Для цитирования:
Нестеров П.Н. Об асимптотике решений гармонического осциллятора с интегральным возмущением. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(1):64-81. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-64-81
For citation:
Nesterov P.N. Asymptotics for Solutions of Harmonic Oscillator with Integral Perturbation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(1):64-81. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-64-81
Просмотров:
1022
Послать статью по эл. почте 