Релаксационные автоколебания в системе из двух синаптически связанных импульсных нейронов
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-82-93
Аннотация
Рассматривается математическая модель синаптического взаимодействия пары импульсных нейронных элементов. Моделью каждого из отдельных нейронов является сингулярно возмущенное дифференциально-разностное уравнение с запаздыванием. Связь между элементами предполагается пороговой, кроме того, в ней учитывается запаздывание по времени. Изучаются вопросы о существовании и устойчивости в полученных системах релаксационных периодических движений. Как оказалось, принципиальным является соотношение между запаздыванием, обусловленным внутренними факторами в модели одиночного импульсного нейрона, и запаздыванием в цепи связи между осцилляторами. При условии, что запаздывание в цепи связи меньше, чем обусловленный внутренним запаздыванием период колебаний уединенного осциллятора, доказывается существование и устойчивость однородного цикла задачи. Увеличение запаздывания приводит к усложнению синфазного режима, в частности, показано, что за счет подходящего выбора этой величины релаксационные колебания в изучаемой системе могут усложняться и на промежутке периода система может иметь не один, а несколько всплесков большой амплитуды. Это означает, что bursting-эффект может возникать в системе из двух синаптически связанных осцилляторов нейронного типа за счет запаздывания в цепи связи.
Ключевые слова
нейронные модели,
дифференциально-разностные уравнения,
релаксационные колебания,
асимптотика,
устойчивость,
синаптическая связь
При поддержке: РФФИ
Об авторах
Сергей Дмитриевич Глызин
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова;
НЦЧ РАН
Россия
Россия
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003;
ведущий научный сотрудник, ул. Лесная, д. 9, г. Черноголовка, Московская область, 142432
Андрей Юрьевич Колесов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003
Елена Александровна Марушкина
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник Лаборатории дискретной и вычислительной геометрии им. Б.Н. Делоне,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003
Список литературы
1. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Об одном способе математического моделирования химических синапсов”, Дифференциальные уравнения, 49:10 (2013), 1227–1244.
2. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I”, Дифференциальные уравнения, 47:7 (2011), 919–932.
3. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II”, Дифференциальные уравнения, 47:12 (2011), 1675–1692.
4. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III”, Дифференц. уравнения, 48:2 (2012), 155–170.
5. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в нейронных системах”, ЖВМ и МФ, 52:5 (2012), 840–858.
6. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в сетях импульсных нейронов”, УМН, 70:3(423) (2015), 3–76.
7. Somers D., Kopell N., “Rapid synchronization through fast threshold modulation”, Biol. Cybern., 68 (1993), 393–407.
8. Somers D., Kopell N., “Anti-phase solutions in relaxation oscillators coupled through excitatory interactions”, J. Math. Biol., 33 (1995), 261–280.
9. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975, 247 с.
10. FitzHugh R. A., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane”, Biophysical J., 1 (1961), 445–466.
11. Terman D., “An Introduction to Dynamical Systems and Neuronal Dynamics”, Tutorials in Mathematical Biosciences I, Lecture Notes in Mathematics, 1860 (2005), 21–68.
12. Hutchinson G. E., “Circular causal systems in ecology”, Ann. N. Y. Acad. of Sci., 50 (1948), 221–246.
13. Колесов А.Ю, Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Об одной модификации уравнения Хатчинсона”, ЖВМ и МФ, 50:12 (2010), 2099–2112.
14. Глызин С.Д., Киселева Е. О., “Учет запаздывания в цепочке связи между осцилляторами”, Модел. и анализ информ. систем, 17:2 (2010), 133–143.
15. Глызин С. Д., Солдатова Е. А., “Фактор запаздывания и десинхронизация колебаний связанных осцилляторов ФитцХью–Нагумо”, Модел. и анализ информ. систем, 17:3 (2010), 134–143.
16. Колесов А.Ю, Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Реле с запаздыванием и его C1-аппроксимация”, Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН, 216 (1997), 126–153.
17. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х, “Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах”, Матем. заметки, 93:5 (2013), 684–701.
18. Глызин С.Д., Марушкина Е.А., “Релаксационные циклы в обобщенной нейронной модели с двумя запаздываниями”, Модел. и анализ информ. систем, 20:6 (2013), 179–199.
19. Chay T. R., Rinzel J., “Bursting, beating, and chaos in an excitable membrane model”, Biophys. J., 47:3 (1985.), 357–366.
20. Ermentrout G. B., Kopell N., “Parabolic bursting in an excitable system coupled with a slow oscillation”, SIAM J. Appl. Math., 46:2 (1986), 233–253.
21. Izhikevich E., “Neural excitability, spiking and bursting”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 10(6) (2000), 1171–1266.
22. Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., and Abarbanel H. D. I., “Dynamical principles in neuroscience”, Rev. Mod. Phys., 78 (2006), 1213–1265.
23. Coombes S., Bressloff P. C., Bursting: the genesis of rhythm in the nervous system., World Scientific Publishing Company, 2005.
Рецензия
Для цитирования:
Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Марушкина Е.А. Релаксационные автоколебания в системе из двух синаптически связанных импульсных нейронов. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(1):82-93. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-82-93
For citation:
Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., Marushkina E.A. Relaxation Oscillations in a System of Two Pulsed Synaptically Coupled Neurons. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(1):82-93. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-82-93
Просмотров:
1087
Послать статью по эл. почте 