Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-94-110

Полный текст:


Аннотация

Пусть \(n\in {\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\). Для невырожденного симплекса \(S\subset {\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначается результат гомотетии \(S\) относительно центра тяжести с~коэффициентом гомотетии \(\sigma\). Под \(\xi(S)\) понимается минимальное \(\sigma>0\), такое что \(Q_n\subset \sigma S\). Через \(\alpha(S)\) обозначается минимальное \(\sigma>0\), при котором \(Q_n\) принадлежит трансляту симплекса \(\sigma S\). Через \(d_i(S)\) обозначается \(i\)-й осевой диаметр \(S\), представляющий собой максимальную длину отрезка, принадлежащего \(S\) и параллельного \(i\)-й координатной оси. Формулы для \(\xi(S)\), \(\alpha(S)\), \(d_i(S)\) были ранее доказаны первым автором. Положим \(\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. \) Всегда \(\xi_n\geq n.\) Обсуждаются некоторые гипотезы, сформулированные в предыдущих работах. Одной из них является следующее утверждение. Для любого \(n\) существует константа \(\gamma>0\), не зависящая от \(S\subset Q_n\), с которой выполняется неравенство \(\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).\) Минимальное \(\gamma\) c таким свойством обозначается через \(\varkappa_n\). Доказывается, что \(\varkappa_1=\frac{1}{2}\) и при \(n>1\) справедливо \(\varkappa_n\geq 1\). Если \(n>1\) и \(\xi_n=n,\) то \(\varkappa_n=1\). Равенство \(\xi_n=n\) выполняется, если \(n+1\) --- число Адамара, т.\,е. существует матрица Адамара порядка \(n+1\). Последнее утверждение известно; приводится ещё одно его доказательство, непосредственно использующее матрицы Адамара. %Полученная ранее общая оценка \(n\leq \xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\) %для \(n=5\) даёт \(5\leq \xi_5\leq 5.5\). Доказывается, что \(\xi_5=5\). Таким образом, существуют такие \(n\), для которых \(n+1\) не является числом Адамара и, тем не менее, \(\xi_n=n\). Минимальное \(n\) с таким свойством равно \(5\). Это влечёт \(\varkappa_5=1\) и %Равенство \(\xi_5=5\) опровергает гипотезу о характеризации чисел Адамара в терминах гомотетии симплексов, высказанную ранее первым автором: \(n+1\) есть число Адамара тогда и только тогда, когда \(\xi_n=n.\) Последнее утверждение оказывается верным лишь в одну сторону. Существует симплекс \(S\subset Q_5\), для которого граница симплекса \(5S\) содержит все вершины куба \(Q_5\). Указывается однопараметрическое семейство симплексов, принадлежащих \(Q_5\) и обладающих свойством \(\alpha(S)=\xi(S)=5.\) Эти симплексы удаётся найти с помощью комбинации численных и~символьных вычислений. Новым результатом является неравенство \(\xi_6\


Об авторах

Михаил Викторович Невский
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

доктор физ.-мат. наук, доцент,

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 



Алексей Юрьевич Ухалов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

кандидат физ.-мат. наук,

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 



Список литературы

1. Климов В. С., Ухалов А.Ю., Решение задач математического анализа с использованием систем компьютерной математики, Ярославль: Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2014.

2. Невский М. В., “Неравенства для норм интерполяционных проекторов”, Модел. и анализ информ. систем, 15:3 (2008), 28–37.

3. Невский М. В., “Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора”, Модел. и анализ информ. систем, 16:1 (2009), 24–43.

4. Невский М. В., “Об одном свойстве n-мерного симплекса”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 580–593.

5. Невский М. В., “О геометрических характеристиках n-мерного симплекса”, Модел. и анализ информ. систем, 18:2 (2011), 52–64.

6. Невский М. В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославль: Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012.

7. Невский М. В., “Вычисление максимального в симплексе отрезка данного направления”, Фундамент. и прикл. матем., 18:2 (2013), 147–152.

8. Невский М. В., Ухалов А.Ю., “О числовых характеристиках симплекса и их оценках”, Модел. и анализ информ. систем, 23:5 (2016), 603–619.

9. Холл M., Комбинаторика, Москва: Мир, 1970 (in English).

10. Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241–243 (1996), 519–598.

11. Lassak M., “Parallelotopes of maximum volume in a simplex”, Discrete Comput. Geom., 21 (1999), 449–462.

12. Mangano S., Mathematica cookbook, O’Reilly Media Inc., Cambridge, 2010.

13. Nevskii M., “Properties of axial diameters of a simplex”, Discrete Comput. Geom., 46:2 (2011), 301–312.

14. Scott P. R., “Lattices and convex sets in space”, Quart. J. Math. Oxford (2), 36 (1985), 359–362.

15. Scott P. R., “Properties of axial diameters”, Bull. Austral. Math. Soc., 39 (1989), 329–333.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Невский М.В., Ухалов А.Ю. Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(1):94-110. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-94-110

For citation: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. New Estimates of Numerical Values Related to a Simplex. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(1):94-110. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-94-110

Просмотров: 248

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)