О гипотезах Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии и его общем схемном слое в случае конечной характеристики


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-2-205-214

Полный текст:


Аннотация

В работе изучаются взаимоотношения между гипотезой Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии над конечным полем и гипотезой Тэйта для дивизоров на общем схемном слое при условии, что общий схемный слой имеет иррегулярность нуль. Пусть \(\pi:X\to C\) -- сюръективный морфизм гладких проективных многообразий над конечным полем \(F_q\) характеристики \(p\), \(C\) -- кривая, общий схемный слой морфизма \(\pi\) является гладким многообразием \(V\) над полем \(k=\kappa(C)\) рациональных функций кривой \(C\), \(\overline k\) -- алгебраическое замыкание поля \(k\), \(k^s\) -- его сепарабельное замыкание, \(NS(V)\) -- группа Нерона -- Севери классов дивизоров на многообразии \(V\) по модулю алгебраической эквивалентности, причем выполнены следующие условия: \(H^1(V\otimes\overline k,\mathcal O_{V\otimes\,\overline k})=0,\) \; \(NS(V)=NS(V\otimes\overline k).\) Если для простого числа \(l\), не делящего \({Card}([NS(V)]_{tors})\) и отличного от характеристики поля \(F_q\), верно соотношение \(NS(V)\otimes\Bbb Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,[H^2(V\otimes k^{sep},Q_l(1))]^{Gal( k^{sep}/k)} \)\; \((\)другими словами, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на \(V )\), то для любого простого числа \(l\neq charr(F_q)\) гипотеза Тэйта верна для дивизоров на \(X\): \(NS(X)\otimes Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow} \,\,[H^2(X\otimes\overline F_q,Q_l(1))]^{Gal(\overline F_q/ F_q)}.\) В частности, из этого результата следует гипотеза Тэйта для дивизоров на арифметической модели K3 -- поверхности над достаточно большим глобальным полем конечной характеристики, отличной от 2.


Об авторе

Татьяна Вячеславовна Прохорова
Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых
Россия

 канд. физ.-мат. наук

ул. Горького, 87, г. Владимир, 600000 Россия



Список литературы

1. J.S. Milne, “Values of zeta functions of varieties over finite fields”, Amer. J. Math., 108 (1986), 297–360.

2. J. Tate, “Conjectures on algebraic cycles in l-adic cohomology”, Proc. Symposia in Pure Math., 55 (1994 Part 1), 71 – 83.

3. Colliot-Theґle`ne J.-L., Skorobogatov A.N., Swinnerton-Dyer P., “Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have rational 2-division points”, Invent. Math., 134:3 (1998), 579–650.

4. Милн Дж., Этальные когомологии, Мир, М., 1983; [Milne J.S., Etale cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980].

5. Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической модели гиперкэлерова многообразия над числовым полем”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:3 (2015), 203 – 224; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic model of a hyperkЁahler variety over a number field”, Izv. Math., 79:3 (2015), 623–644].

6. Lang S., Weil A., “Number of points of varieties in finite fields”, Amer. J. Math., 76:4 (1954), 819–827.

7. Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической схемы. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:5 (2003), 155–176; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic scheme. II”, Izv. Math., 67:5 (2003), 1007–1029].

8. Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M.F., Macdonald I.G., Introduction to commutative algebra, Addison–Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].

9. Skorobogatov A. N., “Descent on fibrations over the projective line”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 905–923.

10. Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, Элементы математики, Наука, М., 1965; [Bourbaki N., Eґleґments de Matheґmatique. Algeґbre, livre II, Hermann, Paris, 1963].

11. Алгебраическая теория чисел, ред. Касселс Дж., ФреЁлих А., Мир, М., 1969; [ Algebraic number theory, Proc. Internat. Conf. Brighton, 1965, eds. Cassels G. W. S., FroЁlich A., Academic Press, London, and Thompson, Washington, DC, 1967].

12. Madapusi Pera K., “The Tate conjecture for K 3 surfaces in odd characteristic Descent on fibrations over the projective line”, Invent. math., 201 (2015), 625–668.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Прохорова Т.В. О гипотезах Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии и его общем схемном слое в случае конечной характеристики. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(2):205-214. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-2-205-214

For citation: Prokhorova T.V. On the Tate Conjectures for Divisors on a Fibred Variety and on its Generic Scheme Fibre in the Case of Finite Characteristic. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(2):205-214. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-2-205-214

Просмотров: 5089

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)