Существование несмещенной оценки энтропии для специальной меры Бернулли

Аннотация

Пусть \(\Omega = A^{N}\)  - пространство правосторонних бесконечных последовательностей символов из алфавита \(A = \{0,1\}\),  \(N = \{1,2,\dots \}\),
\[\label{rho}
  \rho(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =
\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k} - y_{k}|2^{-k}
\]
- метрика на \(\Omega\) и \(\mu\) - вероятностная мера на \(\Omega\). Пусть \(\boldsymbol{\xi_0}, \boldsymbol{\xi_1}, \dots, \boldsymbol{\xi_n}\) - независимые случайные точки на \(\Omega\), распределенные по мере \(\mu\). Будем изучать оценку \(\eta_n^{(k)}(\gamma)\) величины обратной к энтропии \(1/h\), которая определяется следующим образом:

\[ \label{etan}
\eta_n^{(k)}(\gamma) = k \left(r_{n}^{(k)}(\gamma) - r_{n}^{(k+1)}(\gamma)\right),\]
где
\[\label{def_r}
r_n^{(k)}(\gamma) =
\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n} \gamma\left(\min_{i:i \neq j} {^{(k)}}
\rho(\boldsymbol{\xi_{i}}, \boldsymbol{\xi_{j}})\right),
\]
\(\min ^{(k)}\{X_1,\dots,X_N\}=  X_k\), if  \(X_1\leq X_2\leq \dots\leq X_N\). Число \(k\) и функция \(\gamma(t)\)  - вспомогательные параметры. Основной результат работы:
Теорема. Пусть \(\mu\) -  мера Бернулли с вероятностями \(p_0,p_1>0\), \(p_0+p_1=1\), \(p_0=p_1^2\), тогда существует функция \(\gamma(t)\) такая, что
\[E\eta_n^{(k)}(\gamma) =  \frac1h.\]