Оригинальные статьи 
Пусть \(\Omega = A^{N}\) - пространство правосторонних бесконечных последовательностей символов из алфавита \(A = \{0,1\}\), \(N = \{1,2,\dots \}\),
\[\label{rho}
\rho(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =
\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k} - y_{k}|2^{-k}
\]
- метрика на \(\Omega\) и \(\mu\) - вероятностная мера на \(\Omega\). Пусть \(\boldsymbol{\xi_0}, \boldsymbol{\xi_1}, \dots, \boldsymbol{\xi_n}\) - независимые случайные точки на \(\Omega\), распределенные по мере \(\mu\). Будем изучать оценку \(\eta_n^{(k)}(\gamma)\) величины обратной к энтропии \(1/h\), которая определяется следующим образом:
\[ \label{etan}
\eta_n^{(k)}(\gamma) = k \left(r_{n}^{(k)}(\gamma) - r_{n}^{(k+1)}(\gamma)\right),\]
где
\[\label{def_r}
r_n^{(k)}(\gamma) =
\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n} \gamma\left(\min_{i:i \neq j} {^{(k)}}
\rho(\boldsymbol{\xi_{i}}, \boldsymbol{\xi_{j}})\right),
\]
\(\min ^{(k)}\{X_1,\dots,X_N\}= X_k\), if \(X_1\leq X_2\leq \dots\leq X_N\). Число \(k\) и функция \(\gamma(t)\) - вспомогательные параметры. Основной результат работы:
Теорема. Пусть \(\mu\) - мера Бернулли с вероятностями \(p_0,p_1>0\), \(p_0+p_1=1\), \(p_0=p_1^2\), тогда существует функция \(\gamma(t)\) такая, что
\[E\eta_n^{(k)}(\gamma) = \frac1h.\]
Исследуется устойчивость решений линейных уравнений, возникающих в теории двумерной цифровой фильтрации. Анализируются различные постановки начальной задачи. В качестве основных результатов для каждой из них получен соответствующий критерий устойчивости в терминах корней характеристического уравнения. Для краевых условий типа Дирихле, Неймана или для периодических краевых условий обоснован переход к системе линейных уравнений первого порядка в конечномерном пространстве. Кроме этого, рассмотрены краевые условия, определяющие поведение решений на «бесконечности». Здесь речь идет об анализе линейных бесконечномерных систем.
В настоящей работе рассматривается математическая модель кольцевой нейронной сети из четного числа синаптически взаимодействующих элементов. Модель представляет собой систему скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений, правые части которых зависят от большого параметра. Неизвестные функции, входящие в систему, характеризуют мембранные потенциалы нейронов. Представляет интерес поиск в рамках данной системы уравнений специальных, так называемых импульсно-рефрактерных режимов, а именно периодических решений, в которых функции с номерами одной четности обладают асимптотически большим всплеском на периоде, а другой четности — всюду асимптотически малы. С этой целью последовательно делается две замены, позволяющие перейти от исследования исходной системы к двумерной системе скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с двумя запаздываниями. Далее, при стремлении большого параметра к бесконечности определяется предельный объект, представляющий собой релейную систему уравнений с двумя запаздываниями. Конструктивно, с использованием метода шагов, доказывается, что решение релейной системы уравнений с начальной функцией из подходящего класса совпадает с одной и той же периодической функцией с требуемыми свойствами. Затем определяется оператор последований Пуанкаре и с использованием принципа Шаудера доказывается существование релаксационного периодического решения двумерной сингулярно возмущенной системы. Для этого строится асимптотика этого решения, а затем доказывается его близость к решению релейной системы уравнений. Из экспоненциальной оценки производной Фреше оператора Пуанкаре следует единственность в построенном классе функций решения двумерной дифференциально-разностной системы уравнений с двумя запаздываниями, а также обосновывается его экспоненциальная орбитальная устойчивость. Далее, с помощью обратной замены доказанный результат переносится на исходную систему.
\[u'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \cos \theta(t), \quad v'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \sin \theta(t).\]
Кривая \(K\) называется локально выпуклой, если её угловая функция \(\theta(t)\) строго монотонна на отрезке \([a,b]\). Для замкнутой кривой \(K\) число \(deg K= \cfrac{\theta(b)- \theta(a)}{2 \pi}\) целое; оно равно числу оборотов, которое вектор скорости \((u'(t),v'(t))\) совершает вокруг начала координат. Основной результат пункта: если кривая \(K\) локально выпукла и замкнута, то для любой прямой \(G\) число \(N(K;G)\) точек пересечения \(K\) с \(G\) конечно и верна оценка \(N(K;G) \leqslant 2 |deg K|\).
Обсуждаются варианты этой оценки для незамкнутых и негладких кривых. В пунктах 2, 3 основное внимание уделяется кривым, возникающим при исследовании линейного однородного дифференциального уравнения вида \(L(x) \equiv x^{(n)} + p_1(t) x^{(n-1)} + \cdots p_n(t) x = 0 \)
с локально суммируемыми коэффициентами \(p_i(t)\, (i = 1, \cdots,n)\). Существенную роль начинают играть признаки неосцилляции дифференциального оператора \(L\), установленные в работах Г.А. Бессмертных и А.Ю. Левина.
Пусть \(n\in{\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n.\) Для невырожденного симплекса \(S\subset {\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра тяжести \(S\) с коэффициентом \(\sigma.\) Под \(d_i(S)\) понимается \(i\)-й осевой диаметр \(S\), т.е. максимальная длина отрезка из \(S\), параллельного \(i\)-й координатной оси. Пусть \(\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\},\) \(\xi_n=\min \{ \xi(S): \, S\subset Q_n \}.\) Через \(\alpha(S)\) обозначим минимальное \(\sigma>0,\) для которого \(Q_n\) принадлежит трансляту симплекса \(\sigma S\). Рассмотрим квадратную матрицу \({\bf A}\) порядка \(n+1\), строки которой содержат координаты вершин \(S\), а последний столбец состоит из 1. Пусть \({\bf A}^{-1}\) \(=(l_{ij})\). Через \(\lambda_j\) обозначим линейную функцию на \({\mathbb R}^n\), коэффициенты которой составляют \(j\)-й столбец \({\bf A}^{-1}\), т.е. \(\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j}.\) Ранее первым автором были доказаны равенства \( \frac{1}{d_i(S)}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n+1} \left|l_{ij}\right|, \ \alpha(S) =\sum_{i=1}^n\frac{1}{d_i(S)}.\) В статье рассматривается случай \(S\subset Q_n\). Тогда все \(d_i(S)\leq 1\), поэтому \(n\leq \alpha(S)\leq \xi(S).\) Если же для некоторого симплекса \(S^\prime\subset Q_n\) выполняется \(\xi(S^\prime)=n,\) то \(\xi_n=n\), \(\xi(S^\prime)=\alpha(S^\prime)\) и \(d_i(S^\prime)=1\). Однако указанные \(S^\prime\) существуют не для всех размерностей. Первое такое значение \(n\) равно 2.
Для любого двумерного симплекса \(\xi(S)\geq \xi_2=1+\frac{3\sqrt{5}}{5}=2.34 \ldots>2\). Справедлива двусторонняя оценка \(n\leq \xi_n<n+1\). Равенство \(\xi_n=n\) имеет место, если существует матрица Адамара порядка \(n+1\). Дальнейшие исследования показали, что \(\xi_n=n\) и для ряда других размерностей \(n\). В частности, симплексы с условием \(S\subset Q_n\subset nS\) были найдены для всех нечётных \(n\) в промежутке \(1\leq n\leq 11\). В первой части настоящей статьи приводятся новые результаты о симплексах, удовлетворяющих указанным включениям. Доказывается, что если \(S\subset Q_n\subset nS\), то центр тяжести \(S\) совпадает с центром \(Q_n\). Устанавливаются равенства \(\sum_{j=1}^{n+1} |l_{ij}|=2 \quad (1\leq i\leq n), \sum_{i=1}^{n} |l_{ij}|=\frac{2n}{n+1} \quad (1\leq j\leq n+1)\). Приводится ряд следствий. Во второй части статьи обсуждается следующая гипотеза. Пусть для симплекса \(S\subset Q_n\) выполняется равенство \(\xi(S)=\xi_n\). Тогда \((n-1)\)-мерные гиперплоскости, содержащие грани \(S\), отсекают от куба \(Q_n\) равные по объёму части. Хотя это справедливо для \(n=2\) и \(n=3\), в общем случае эта гипотеза не верна.
В работе исследуется задача построения асимптотических представлений для слабых решений некоторого класса линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве при стремлении независимой переменной к бесконечности. Исследуется класс уравнений, являющихся возмущением линейного автономного уравнения, вообще говоря, с неограниченным оператором. В качестве возмущения выступает семейство ограниченных операторов, которое в определенном смысле убывает колебательным образом на бесконечности. Относительно невозмущенного уравнения предполагаются выполненными стандартные требования теории центральных многообразий. Суть предложенного метода асимптотического интегрирования состоит в доказательстве существования у исходного уравнения многообразия типа центрального (критического многообразия). Это многообразие является положительно инвариантным для исходного уравнения и притягивает все траектории слабых решений. Динамика исходного уравнения на критическом многообразии описывается конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Асимптотика фундаментальной матрицы этой системы может быть построена с помощью разработанного автором метода асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами. В качестве примера использования предложенной техники в работе строятся асимптотические представления для решений возмущенного уравнения теплопроводности.
В работе рассматривается дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, в котором неизвестная функция зависит от трех независимых переменных: времени и двух пространственных. Данное уравнение можно назвать обобщенным уравнением Курамото–Сивашинского, и оно описывает процесс формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием ионной бомбардировки. В работе это уравнение рассматривается вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Для данной краевой задачи изучается вопрос о локальных бифуркациях пространственно неоднородных состояний равновесия при смене ими устойчивости. Показано, что в результате бифуркации могут появиться пространственно неоднородные состояния равновесия трех типов. Выведены условия на коэффициенты, при которых происходит потеря устойчивости. В случаях, близких к критическим, для значений параметров рассмотрены задачи о локальных бифуркациях. Показано, что вопрос о формировании неоднородного рельефа с математической точки зрения сводится к изучению вспомогательных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые принято называть нормальной формой Пуанкаре–Дюлака. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), такие как: метод инвариантных многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм. В частности, изучен вопрос об устойчивости найденных решений, а также получены асимптотические формулы для бифурцирующих пространственно неоднородных решений. Подтверждено, что формирование неоднородного рельефа можно рассматривать как явление самоорганизации.
Предложены и реализованы новые варианты метода коллокации и наименьших невязок (КНН) для численного решения краевых задач для уравнений с частными производными в выпуклых четырехугольных областях. Их реализация и численные эксперименты выполнены на примерах решения уравнений Пуассона и бигармонического. Решение второго уравнения использовано для моделирования напряженно–деформированного состояния изотропной пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки. Дифференциальные задачи методом КНН проектировались в пространство полиномов четвертой степени. Граничные условия для приближенного решения задач выписывались точно на границе расчетной области. Реализованы варианты метода КНН на сетках, построенных двумя различными способами. В первом варианте в области строится некоторая “квазирегулярная” сетка, крайние линии которой совпадают с границами области. Во втором — область сначала накрывается регулярной сеткой с прямоугольными ячейками. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы “законтурные” (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Кроме этого, “малые” нерегулярные треугольные ячейки, отсеченные границей области от прямоугольных ячеек начальной регулярной сетки, присоединялись к соседним четырехугольным ячейкам. Этот прием позволил существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений приближенной задачи по сравнению со случаем, когда малые ячейки наряду с другими ячейками использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи. В численных экспериментах по сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что оно сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда оно известно.
В данной работе рассматривается нелокальная динамика модели двух связанных генераторов с запаздывающей обратной связью. Эта модель имеет вид системы двух дифференциальных уравнений с запаздыванием. Функция обратной связи является нелинейной, финитной и гладкой. Главным предположением в задаче является то, что связь между генераторами достаточно малая. Асимптотическими методами исследуется существование релаксационных периодических решений данной системы. Для этого в фазовом пространстве исходной системы выделяется специальное множество. Затем находится асимптотика решений данной системы с начальными условиями из этого множества. С помощью этой асимптотики строится специальное отображение, описывающее в главном динамику исходной задачи. Доказывается, что все решения данного отображения являются негрубыми циклами периода два. В результате удается сформулировать условия на параметр связи, при выполнении которых исходная система имеет двупараметрическое семейство негрубых неоднородных релаксационных периодических асимптотических по невязке решений.
Построены эллиптические системы первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций и максимально возможным числом неизвестных, т.е. в общем случае. Эти системы служат основой для изучения свойств любых эллиптических систем первого порядка. Проведенное изучение системы Коши–Римана и ее обобщений привело к выделению целого класса эллиптических систем первого порядка специальной структуры. Важное значение в исследовании этих систем играет интегральное представление их решений. Лишь при помощи конструктивного метода интегральных представлений можно решить ряд проблем в теории эллиптических систем, связанных, в основном, с граничными свойствами решений. Найденное интегральное представление удалось применить также для решения ряда задач, которые трудно решить, если опираться только на неконструктивные методы. Установлены, в частности, аналоги теорем Лиувилля, Вейерштрасса, Коши, Гаусса, Морера, аналог формулы Грина, а также аналог принципа максимума модуля. Используемые матричные операторы позволяют осуществить новое конструктивное построение максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах в общем случае любой возможной размерности. Кроме того, построенные операторы позволяют получить конструктивное решение расширенной задачи «о сумме квадратов», известной в алгебре.
ISSN 2313-5417 (Online)
