Импульсно-рефрактерный режим в кольцевой цепи синаптически связанных осцилляторов нейронного типа

В настоящей работе рассматривается математическая модель кольцевой нейронной сети из четного числа синаптически взаимодействующих элементов. Модель представляет собой систему скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений, правые части которых зависят от большого параметра. Неизвестные функции, входящие в систему, характеризуют мембранные потенциалы нейронов. Представляет интерес поиск в рамках данной системы уравнений специальных, так называемых импульсно-рефрактерных режимов, а именно периодических решений, в которых функции с номерами одной четности обладают асимптотически большим всплеском на периоде, а другой четности — всюду асимптотически малы. С этой целью последовательно делается две замены, позволяющие перейти от исследования исходной системы к двумерной системе скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с двумя запаздываниями. Далее, при стремлении большого параметра к бесконечности определяется предельный объект, представляющий собой релейную систему уравнений с двумя запаздываниями. Конструктивно, с использованием метода шагов, доказывается, что решение релейной системы уравнений с начальной функцией из подходящего класса совпадает с одной и той же периодической функцией с требуемыми свойствами. Затем определяется оператор последований Пуанкаре и с использованием принципа Шаудера доказывается существование релаксационного периодического решения двумерной сингулярно возмущенной системы. Для этого строится асимптотика этого решения, а затем доказывается его близость к решению релейной системы уравнений. Из экспоненциальной оценки производной Фреше оператора Пуанкаре следует единственность в построенном классе функций решения двумерной дифференциально-разностной системы уравнений с двумя запаздываниями, а также обосновывается его экспоненциальная орбитальная устойчивость. Далее, с помощью обратной замены доказанный результат переносится на исходную систему.

1. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Об одном способе математического моделирования химических синапсов”, Дифференциальные уравнения, 49:10 (2013), 1227– 1244

2. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в сетях импульсных нейронов”, УМН, 70:3(423) (2015), 3–76

3. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:2 (2013), 53–96

4. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в нейронных системах”, ЖВМ и МФ, 52:5 (2012), 840–858

5. Преображенская М. М., “Релаксационные циклы в модели синаптически взаимодействующих осцилляторов”, МАИС, 24:2 (2017), 186–204

6. Колесов А.Ю, Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Реле с запаздыванием и его C 1 - аппроксимация”, Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН, 216 (1997), 126–153

7. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I”, Дифференциальные уравнения, 47:7 (2011), 919–932

8. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II”, Дифференциальные уравнения, 47:12 (2011), 1675–1692

9. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III”, Дифференц. уравнения, 48:2 (2012), 155–170

10. Колесов А.Ю, Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Об одной модификации уравнения Хатчинсона”, ЖВМ и МФ, 50:12 (2010), 2099–2112

11. Преображенская М. М., “Существование и устойчивость релаксационных циклов в нейродинамической модели с двумя запаздываниями”, Вестник НИЯУ МИФИ, 5:4 (2016), 351–366

12. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах”, Матем. заметки, 93:5 (2013), 684–701