О локально выпуклых кривых


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-567-577

Полный текст:


Аннотация

Вводится понятие и устанавливаются свойства локально выпуклых кривых. В первом пункте рассматривается кривая \(K\), допускающая параметрическое представление \(x = u(t),\, y = v(t), \, (a \leqslant t \leqslant b),\) где \(u(t), v(t)\) -- непрерывно дифференцируемые на отрезке \([a,b]\) функции, причём \(|u'(t)| + |v'(t)| > 0 \,\forall t \in [a,b]\). Угловая функция \(\theta(t)\) кривой \(K\) -- это непрерывная на отрезке \([a,b]\) функция, удовлетворяющая соотношениям
\[u'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \cos \theta(t), \quad v'(t) = \sqrt{(u'(t))^2 + (v'(t))^2}\, \sin \theta(t).\]
Кривая \(K\) называется локально выпуклой, если её угловая функция \(\theta(t)\) строго монотонна на отрезке \([a,b]\). Для замкнутой кривой \(K\) число \(deg K= \cfrac{\theta(b)- \theta(a)}{2 \pi}\) целое; оно равно числу оборотов, которое вектор скорости \((u'(t),v'(t))\) совершает вокруг начала координат. Основной результат пункта: если кривая \(K\) локально выпукла и замкнута, то для любой прямой \(G\) число \(N(K;G)\) точек пересечения \(K\) с \(G\) конечно и верна оценка \(N(K;G) \leqslant 2 |deg K|\).

 Обсуждаются варианты этой оценки для незамкнутых и негладких кривых. В пунктах 2, 3 основное внимание уделяется кривым, возникающим при исследовании линейного однородного дифференциального уравнения вида \(L(x) \equiv x^{(n)} + p_1(t) x^{(n-1)} + \cdots p_n(t) x = 0 \)
с локально суммируемыми коэффициентами \(p_i(t)\, (i = 1, \cdots,n)\). Существенную роль начинают играть признаки неосцилляции дифференциального оператора \(L\), установленные в работах Г.А. Бессмертных и А.Ю. Левина.

Об авторе

Владимир Степанович Климов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
доктор физ.-мат. наук, профессор


Список литературы

1. Сантало Л. А., Введение в интегральную геометрию, Издательство иностранной литературы, М., 1956, 184 с.

2. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П., Векторные поля на плоскости, Физматгиз, М., 1963, 248 с.

3. Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной геометрии, МЦН- МО, М., 2004

4. Иванов А. О., Тужилин А. А., Фоменко А. Т., “Компьютерное моделирование кривых и поверхностей”, Фундаментальная и прикладная математика, 15:5 (2009), 63–94

5. Трикоми Ф., Дифференциальные уравнения, ИЛ, М., 1962

6. Бессмертных Г. А., Левин А.Ю., “О некоторых оценках дифференцируемых функций одной переменной”, ДАН СССР, 144:3 (1962), 471–474

7. Запутряева Е. С., “Изгибания равносторонних многоугольников с сохранением индекса”, Модел. и анализ информ. систем, 20:1 (2013), 138–159

8. Левин А.Ю., “Неосцилляция решений уравнения x (n) + p1(t)x (n−1) + . . . + pn(t)x = 0”, УМН, 24:2(146) (1969), 43–96

9. Дерр В. Я., “Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений”, Вестник Удмуртского ун-та, 15:5 (2009), 46–89

10. Анисов С. С., “Выпуклые кривые в RPn ”, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН, 221 (1998), 9–47


Дополнительные файлы

Для цитирования: Климов В.С. О локально выпуклых кривых. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(5):567-577. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-567-577

For citation: Klimov V. On Locally Convex Curves. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(5):567-577. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-567-577

Просмотров: 134

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)