Бифуркации пространственно неоднородных решений в одной краевой задаче для обобщенного уравнения Курамото–Сивашинского


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-615-628

Полный текст:


Аннотация

В работе рассматривается дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, в котором неизвестная функция зависит от трех независимых переменных: времени и двух пространственных. Данное уравнение можно назвать обобщенным уравнением Курамото–Сивашинского, и оно описывает процесс формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием ионной бомбардировки. В работе это уравнение рассматривается вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Для данной краевой задачи изучается вопрос о локальных бифуркациях пространственно неоднородных состояний равновесия при смене ими устойчивости. Показано, что в результате бифуркации могут появиться пространственно неоднородные состояния равновесия трех типов. Выведены условия на коэффициенты, при которых происходит потеря устойчивости. В случаях, близких к критическим, для значений параметров рассмотрены задачи о локальных бифуркациях. Показано, что вопрос о формировании неоднородного рельефа с математической точки зрения сводится к изучению вспомогательных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые принято называть нормальной формой Пуанкаре–Дюлака. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), такие как: метод инвариантных многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм. В частности, изучен вопрос об устойчивости найденных решений, а также получены асимптотические формулы для бифурцирующих пространственно неоднородных решений. Подтверждено, что формирование неоднородного рельефа можно рассматривать как явление самоорганизации.

 


Об авторе

Алина Вадимовна Секацкая
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
аспирант


Список литературы

1. Sigmund P., “A mechanism of surface micro-rougening by ion bombardment”, J. Mat. Sci., 8 (1973), 1545.

2. Sigmund P., “Theory of sputtering. Sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets”, Phys. Rev, 184:2 (1969), 383–416.

3. Syvashinsky G. I., “Weak Turbulence in Periodic Flow”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 17, 1985, 243–255.

4. Kuramoto Y., Chemical oscillations, waves and turbulence, Springer, Berlin, 1984, 136 pp.

5. Bradley R. M., Harper J. M. E., “Theory of Ripple Topography by ion bombardment”, J. Vac. Tech., A6, 1988, 2390–2395.

6. Кудряшов Н. А., Рябов П. Н., Стриханов М. Н., “Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ядерная физика и инжиниринг, 1, 2, 2010, 151–158

7. Кудряшов Н. А., Рябов П. Н., Федянин Т. Е., “Особенности самоорганизации нано- структур на поверхности полупроводников при ионной бомбардировке”, Математическое моделирование, 24, 2012, 23–28

8. Carter G., “The physics and applications of ion beam erosion”, J.Phys. D.: Appl. Phys ˙ , 34, 2001.

9. Sigmund P., Sputtering by ion bombardment. Theoretical concepts. Sputtering by particle bombardment, Springer-Verlag, Berlin, 1981.

10. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека, Наука, М., 1972, 544 с.;

11. Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, 1950, 367 с.;

12. Куликов А. Н., Интегральные многообразия нелинейных автономных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, Препринт №85 института прикладной математики им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991;

13. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., Автоволновые про- цессы в нелинейных средах с диффузией, Физматлит, 2005, 431 с.;

14. Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, Гос.изд-во технико-теоретической литературы, М.-Л., 1951, 360 с.;

15. Куликов А. Н., Куликов Д. А., “Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:5 (2012), 930–945;

16. Куликов А. Н., Куликов Д. А., Рудый А. С., “Бифуркации наноструктур под воздействием ионной бомбардировки”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2011, № 4, 86–99;

17. Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Bifurcations in a boundary-value problem of nanoelectronics”, Journal of Mathematical Sciences, 208:2 (2015), 211–221.

18. Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Bifurcation in Kuramoto–Syvashinsky equation”, Pliska Stud. Math, 25 (2015), 81–90.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Секацкая А.В. Бифуркации пространственно неоднородных решений в одной краевой задаче для обобщенного уравнения Курамото–Сивашинского. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(5):615-628. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-615-628

For citation: Sekatskaya A.V. Bifurcations of Spatially Inhomogeneous Solutions of a Boundary Value Problem for the Generalized Kuramoto–Syvashinsky Equation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(5):615-628. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-615-628

Просмотров: 167

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)