Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в выпуклых четырехугольных областях


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-629-648

Полный текст:


Аннотация

Предложены и реализованы новые варианты метода коллокации и наименьших невязок (КНН) для численного решения краевых задач для уравнений с частными производными в выпуклых четырехугольных областях. Их реализация и численные эксперименты выполнены на примерах решения уравнений Пуассона и бигармонического. Решение второго уравнения использовано для моделирования напряженно–деформированного состояния изотропной пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки. Дифференциальные задачи методом КНН проектировались в пространство полиномов четвертой степени. Граничные условия для приближенного решения задач выписывались точно на границе расчетной области. Реализованы варианты метода КНН на сетках, построенных двумя различными способами. В первом варианте в области строится некоторая “квазирегулярная” сетка, крайние линии которой совпадают с границами области. Во втором — область сначала накрывается регулярной сеткой с прямоугольными ячейками. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы “законтурные” (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Кроме этого, “малые” нерегулярные треугольные ячейки, отсеченные границей области от прямоугольных ячеек начальной регулярной сетки, присоединялись к соседним четырехугольным ячейкам. Этот прием позволил существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений приближенной задачи по сравнению со случаем, когда малые ячейки наряду с другими ячейками использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи. В численных экспериментах по сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что оно сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда оно известно.

 


Об авторах

Василий Алексеевич Беляев
Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН
Россия
старший лаборант


Василий Павлович Шапеев
Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН; Новосибирский национальный исследовательский университет
Россия
доктор физ.-мат. наук, профессор


Список литературы

1. Слепцов А. Г.., “Коллокационно-сеточное решение эллиптических краевых задач”, Моделирование в механике, 5(22):2 (1991), 101–126

2. Слепцов А. Г., Шокин Ю. И., “Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 37:5 (1997), 572–586;

3. Беляев В. В., Шапеев В. П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей”, Вычислительные технологии, 5:4 (2000), 12–21

4. Шапеев В. П., Беляев В. А., “Варианты метода коллокации и наименьших невязок повышенной точности в области с криволинейной границей”, Вычислительные технологии, 21:5 (2016), 95–110

5. Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П., “Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин”, Вычислительные технологии, 18:6 (2013), 31–43;

6. Семин Л. Г., Слепцов А. Г. Шапеев В. П.,, “Метод коллокаций-наименьших квадратов для уравнений Стокса”, Вычисл. технологии, 1:2 (1996), 90–98;

7. Исаев В. И., Шапеев В. П., “Развитие метода коллокаций и наименьших квадратов”, Труды ИММ УрО РАН, 14:1 (2008), 41–60;

8. Исаев В. И., Шапеев В. П., “Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье–Стокса”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:10 (2010), 1758–1770;

9. Шапеев В. П., Ворожцов Е. В., Исаев В. И., Идимешев С. В., “Метод коллокаций и наименьших невязок для трехмерных уравнений Навье–Стокса”, Вычислит. методы и и программирование, 14 (2013), 306–322

10. Shapeev V., “Collocation and least residuals method and its applications”, EPJ Web of Conferences, 108:01009 DOI: 10.1051/epjconf/201610801009 (2016).

11. Ворожцов Е. В., Шапеев В. П., “О комбинировании способов ускорения сходимости итерационных процессов при численном решении уравнений Навье–Стокса”, Вычислит. методы и программирование, 18 (2017), 80–102;

12. Слепцов А. Г., “Об ускорении сходимости линейных итераций II”, Моделирование в механике, 3(20):5 (1989), 118–125;

13. Saad Y., Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, Manchester University Press, Manchester, 1991.

14. Исаев В. И., Шапеев В. П., Еремин С. А., “Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье–Стокса”, Вычислительные технологии, 12:3 (2007), 1–19;

15. Timoshenko S. P. Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells, 2dn edn., McGrawHill Book Company, 1959.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Беляев В.А., Шапеев В.П. Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в выпуклых четырехугольных областях. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(5):629-648. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-629-648

For citation: Belyaev V.A., Shapeev V.P. Versions of the Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Convex Quadrangular Domains. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(5):629-648. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-629-648

Просмотров: 243

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)