Асимптотическое приближение решения уравнения реакция-диффузия-адвекция с нелинейным адвективным слагаемым

В работе рассматривается решение вида движущегося фронта начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция в полосе с периодическими условиями по одной из переменных. Особенностями настоящей работы является постановка задачи в двумерной области и наличие большого адвективного слагаемого в исходном уравнении. Интерес к решениям вида фронта связан с задачами горения или нелинейных акустических волн. В области определения функции, описывающей движущийся фронт, содержится подобласть, в которой функция обладает большим градиентом. Эта подобласть называется внутренним переходным слоем. Задачи с внутренними переходными слоями содержат естественный малый параметр, равный отношению ширины переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Наличие малого параметра при старшей производной по пространственным координатам делает задачу сингулярно возмущенной. Численное решение таких задач встречает определенные сложности, связанные с выбором сеток и начальных условий. Для решения этих проблем наиболее успешным является использование аналитических методов. Асимптотический анализ с использованием алгоритма Васильевой, проведенный в настоящей работе, позволяет определить условия существования решения вида фронта, а также получить асимптотическое приближение решения, которое можно выбрать в качестве начального условия для численного алгоритма. Кроме того, аналитические методы, использованные в работе, позволяют выписать уравнение для кривой, в области которой локализован фронт. Эти сведения могут быть полезными для разработки математических моделей или численных алгоритмов для решения задач вида реакция-диффузияадвекция.

задача реакция-диффузия-адвекция, двумерный движущийся фронт, внутренний переходный слой, асимптотическое представление, малый параметр

1. Нефeдов Н.Н., “Асимптотический метод дифференциальных неравенств в исследовании периодических контрастных структур: существование, асимптотика, устойчивость”, Дифференц. уравнения, 36:2 (2000), 262–269;

2. Волков В.Т., Нефeдов Н.Н., “Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур в уравнениях реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:4 (2006), 615–623;

3. Божевольнов Ю.В., Нефeдов Н.Н., “Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:2 (2010), 276–285;

4. Антипов Е.А., Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., “Асимптотика движения фронта в задаче реакция-диффузия-адвекция”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:10 (2014), 1594–1607;

5. Nefedov N., Yagremtsev A., “On extension of asymptotic comparison principle for time periodic reaction-diffusion-advection systems with boundary and internal layers”, Lecture Notes in Computer Science, 9045 (2015), 62–71.

6. Volkov V.T., Nefedov N.N., Antipov E.A., “Asymptotic-numerical method for moving fronts in two-dimensional r-d-a problems”, Lecture Notes in Computer Science., 9045 (2015), 408–416.

7. Антипов Е.А., Волков В.Т., Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., “Решение вида движущегося фронта двумерной задачи реакция-диффузия”, Модел. и анализ информ. систем, 24:3 (2017), 259–279;

8. Liberman A., Ivanov M., Peil O., Valiev D, Eriksson L., “Numerical studies of curved stationary flames in wide tubes”, Combustion Theory and Modelling, 7:4 (2003), 653–676.

9. Руденко О.В., “Неоднородное уравнение бюргерса с модульной нелинейностью: возбуждение и эволюция интенсивных волн”, Доклады Академии наук, 474:6 (2017), 671– 674;

10. Lukyanenko D.V., Volkov V.T., Nefedov N.N., Recke L., Schneider K., “Analyticnumerical approach to solving singularly perturbed parabolic equations with the use of dynamic adapted meshes”, Modeling and Analysis of Information Systems, 23:3 (2016), 334–341.

11. Volkov V., Lukyanenko D., Nefedov N., “Asymptotic-numerical method for the location and dynamics of internal layers in singular perturbed parabolic problems”, Lecture Notes in Computer Science, 10187 (2017), 721–729.

12. Lukyanenko D., Nefedov N., Nikulin E., Volkov V., “Use of asymptotics for new dynamic adapted mesh construction for periodic solutions with an interior layer of reactiondiffusion-advection equations”, Lecture Notes in Computer Science, 10187 (2017), 107– 118.

13. Lukyanenko D.V., Volkov V.T., Nefedov N.N., “Dynamically adapted mesh construction for the efficient numerical solution of a singular perturbed reaction-diffusion-advection equation”, Modeling and Analysis of Information Systems, 24:3 (2017), 322–338.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. школа, М., 1990, 208 с.;

15. Нефедов Н.Н., Попов В.Ю., Волков В.Т., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Курс лекций, Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, М., 2016, 200 с.;