Верхнее и нижнее решения для системы уравнений типа ФицХью–Нагумо

Рассматривается решение вида движущегося фронта сингулярно возмущенной системы уравнений типа ФицХью–Нагумо. Решение содержит внутренний переходный слой, то есть подобласть где происходит резкое изменение значений функций, описывающих решение. В начально-краевых задачах с решениями вида фронтов содержится естественный малый параметр, равный отношению ширины внутреннего переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Учет малого параметра приводит к тому, что уравнения становятся сингулярно возмущенными, тем самым задачи относятся к разряду «жестких», численное решение которых встречает определенные трудности и не всегда дает достоверный результат. В связи с этим возрастает роль аналитического исследования таких задач и доказательства существования решения с внутренним переходным слоем. В этих целях особо эффективным является использование метода дифференциальных неравенств, который состоит в построении непрерывных функций, называемых верхним и нижним решениями. При этом важную роль играет так называемое «условие квазимонотонности» функций, описывающих реактивные слагаемые. В настоящей работе приведен алгоритм построения верхнего и нижнего решений системы параболических уравнений с одномасштабным внутренним переходным слоем, при этом условие квазимонотонности отличается от аналогичного условия в ранее опубликованных работах. Приведенный алгоритм может быть в дальнейшем обобщен на более сложные системы с двухмасштабными переходными слоями или на системы с разрывными реактивным слагаемыми. Подобные исследования имеют важное практическое значение для создания математически обоснованных моделей биофизики.

система параболических уравнений, внутренний переходный слой, малый параметр, верхнее и нижнее решения, метод дифференциальных неравенств, асимптотическое представление

1. Murray J.D., Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Third Edition, Springer, 2003.

2. FitzHugh R.A., “Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane”, Biophys. J., 1:6 (1961), 445–466.

3. Сидорова А.Э., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Яковенко Л.В., “Популяционная модель урбоэкосистем в представлениях активных сред”, Биофизика, 60:3 (2015), 574– 582;

4. Сидорова А.Э., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. и др., “Автоволновая самоорганизация в неоднородных природно-антропогенных экосистемах”, Вестник Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия, 2016, №6, 39–45;

5. Сидорова А.Э., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Семина А.Е., “Модель структурообразования урбоэкосистем как процесс автоволновой самоорганизации в активных средах”, Математическая биология и биоинформатика, 12:1 (2017), 186– 197;

6. Pao C.V., Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press, New York, 1992.

7. Нефeдов Н.Н., “Асимптотический метод дифференциальных неравенств в исследовании периодических контрастных структур: существование, асимптотика, устойчивость”, Дифференц. уравнения, 36:2 (2000), 262—269;

8. Волков В.Т., Нефeдов Н.Н., “Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур в уравнениях реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:4 (2006), 615–623;

9. Левашова Н.Т., Петровская Е.С., “Применение метода дифференциальных неравенств для обоснования асимптотики решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в виде контрастной структуры типа ступеньки”, Ученые записки физического факультета Московского университета, 1:3(11) (2014), 1–13;

10. Левашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе параболических уравнений”, Дифференциальные уравнения, 51:3 (2015), 339–358;

11. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:11 (2012), 1983–2003

12. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:9 (2013), 1427–1447;

13. Volpert A.I., Volpert V.A., Volpert V.A., Traveling wave solutions of parabolic systems, Translations of mathematical monographs, 140, American Mathematical Soc., 1994.

14. Давыдова М.А., Захарова С.А., Левашова Н.Т., “Об одной модельной задаче для уравнения реакция-диффузия-адвекция”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:9 (2017), 1548–1559;

15. Бутузов В.Ф., Неделько И.В., “Контрастная структура типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных параболических уравнений”, Матем. моделирование, 13:12 (2001), 23–42;

16. Omel’chenko O., Recke L., “Boundary layer solutions to singularly perturbed problems via the implicit function theorem”, Asymptotic Analysis, 62:3–4 (2009), 207—225.

17. Palmer K.J., “Exponential dichotomies for almost periodic equations”, Proceedings of the American Mathematical Society, 101:2 (1987), 293—298.