Уравнение Курамото–Сивашинского. Локальный аттрактор, заполненный неустойчивыми периодическими решениями
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-92-101
Аннотация
Рассмотрена периодическая краевая задача для одной из первоначальных редакций широко известного в математической физике уравнения Курамото–Сивашинского. Изучены локальные бифуркации в окрестности пространственно однородных состояний равновесия при смене ими устойчивости. Показано, что потеря устойчивости однородными состояниями равновесия приводит к появлению двумерного локального аттрактора, все решения на котором, кроме одного пространственно неоднородного состояния, – периодические функции времени. Спектр частот данного семейства периодических решений заполняет всю числовую ось, и все они неустойчивы в смысле определения А.М. Ляпунова в метрике фазового пространства (пространства начальных условий) соответствующей начально-краевой задачи. В качестве фазового пространства был выбран естественный для данной краевой задачи вариант функционального пространства Соболева. Для периодических решений, заполняющих двумерный аттрактор, приведены асимптотические формулы. При анализе бифуркационной задачи были использованы методы анализа бесконечномерных динамических систем: метод интегральных (инвариантных) многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм Пуанкаре, а также асимптотические методы. При этом анализ бифуркаций для периодической краевой задачи был сведен к анализу структуры окрестности нулевого решения однородной краевой задачи Дирихле для рассматриваемого в работе уравнения.
Ключевые слова
уравнение Курамото–Сивашинского,
периодическая краевая задача,
локальные бифуркации,
устойчивость,
аттрактор,
асимптотические формулы
При поддержке: 1Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ, проект № 1.10160.2017/5.1. 2Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00672.
Об авторах
Анатолий Николаевич Куликов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
канд. ф.-м. наук, доцент
Россия
канд. ф.-м. наук, доцент
Дмитрий Анатольевич Куликов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
канд. ф.-м. наук, доцент
Россия
канд. ф.-м. наук, доцент
Список литературы
1. Kuramoto Y., Chemical oscillations, waves and turbulence, Springer, Berlin, 1984.
2. Sivashinsky G.I., “Weak turbulence in periodic flows”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 17:2 (1985), 243–255.
3. Ахмедиев Н., А. Анкевич, Диссипативные солитоны, Физматлит, Москва, 2008.
4. Armbruster D., Guckenheimer J., Holmes P., “Kuramoto–Sivashinsky Dynamics on the Center–Unstable Manifold”, SIAM J. Appl. Math., 49:3 (1989), 676–691.
5. Kevrekidis I.G., Nicolaenko B., Scovel J.C., “Back in the saddle again: A computer assisted study of the Kuramoto–Sivashinsky equation”, SIAM J. Appl. Math., 50:3 (1990), 760– 790.
6. Nicolaenko B., Scheurer B., Temam R., “Some global dynamical properties of the Kuramoto–Sivashinsky equations: Nonlinear stability and attractors”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 16:2 (1985), 155–183.
7. Changpin Li, Zhonghua Y., “Bifurcation of two-dimensional Kuramoto–Sivashinsky equation”, Appl. Math.- JCU, 13:3 (1998), 263–270.
8. Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 52:5 (2012), 930–945;
9. Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Бифуркации пространственно неоднородных решений в двух краевых задачах для обобщенного уравнения Курамото–Сивашинского”, Вестник МИФИ, 3:4 (2014), 408–415;
10. Kulikov A.N., Kulikov D.A., “Inhomogeneous solutions for a modified Kuramoto– Sivashinsky equation”, Journal of Mathematical Sciences, 219:2 (2016), 173–183.
11. Куликов А.Н., “Аттракторы двух краевых задач для модифицированного нелинейного телеграфного уравнения”, Нелинейная динамика, 4:1 (2008), 57–68;
12. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., “Пример аттрактора, состоящего из неустойчивых по Ляпунову периодических траекторий”, Моделирование и анализ информационных систем, 15:2 (2008), 94–95;
13. Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Уравнение Курамото-Сивашинского. Существование аттрактора, все решения на котором неустойчивы”, Тезисы докладов международной научной конференции "Новые тенденции в нелинейной динамике", ЯрГУ, Ярославль, 2017, 50–51;
Рецензия
Для цитирования:
Куликов А.Н., Куликов Д.А. Уравнение Курамото–Сивашинского. Локальный аттрактор, заполненный неустойчивыми периодическими решениями. Моделирование и анализ информационных систем. 2018;25(1):92-101. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-92-101
For citation:
Kulikov A.N., Kulikov D.A. The Kuramoto–Sivashinsky equation. A Local Attractor Filled with Unstable Periodic Solutions. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018;25(1):92-101. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-92-101
Просмотров:
1604
Послать статью по эл. почте 