Периодические и квазипериодические решения в системе трех уравнений Хатчинсона с запаздывающей вещательной связью

Изучается динамика ассоциации, состоящей из трех одинаковых колебательных элементов. Структура связи между осцилляторами предполагается вещательной, т.е. один из элементов системы односторонним образом воздействует на два других, которые, в свою очередь, взаимодействуют друг с другом. Важным свойством связи между осцилляторами является наличие в ней запаздывания по времени, что, очевидным образом, часто встречается в приложениях. Изучаемая система моделирует ситуацию из популяционной динамики, когда популяции слабо связаны между собой, например, разделены географически. При этом одна из популяций может влиять на обе оставшиеся, которые в свою очередь способны влиять друг на друга, но не влияют на первую. Каждый отдельный осциллятор представлен логистическим уравнением с запаздыванием (уравнением Хатчинсона). В работе выполнен локальный асимптотический анализ данной системы в случае близости параметров осцилляторов к значениям, при которых происходит бифуркация Андронова–Хопфа, кроме того, предполагаются малыми коэффициенты связи в системе. В этой ситуации к нашей задаче применим известный метод нормальных форм, который позволяет свести изучение динамики системы в некоторой окрестности единичного состояния равновесия к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на устойчивом интегральном многообразии. Для построенной нормальной формы найдены простейшие режимы, полученные с использованием симметрии задачи, и условия их устойчивости. С учетом полученных формул численно проанализированы фазовые перестройки, происходящие в системе. Показано, что запаздывание в цепи связи осцилляторов существенно влияет на качественное поведение решений системы.

1. Uri Alon, “Network motifs: theory and experimental approaches”, Nature Reviews Genetics, 8:6 (2007), 450–461.

2. Milo R., Shen-Orr S., Itzkovitz S., et al., “Network motifs: Simple Building Blocks of Complex Networks”, Science, 298:5594 (2002), 824–827.

3. Yechiam Yemini, The Topology of Biological Networks, Computer Science Department, Columbia University, 2004.

4. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., “Релаксационные автоколебания в сетях импульсных нейронов”, Успехи математических наук, 70:3(423) (2015), 3–76

5. Глызин С.Д., Киселева Е.О., “Учет запаздывания в цепочке связи между осцилляторами”, Модел. и анализ информ. систем, 17:2 (2010), 133–143;

6. Глызин С.Д., Солдатова Е.А., “Фактор запаздывания и десинхронизация колебаний связанных осцилляторов ФитцХью–Нагумо”, Модел. и анализ информ. систем, 17:3 (2010), 134–143;

7. Hutchinson G.E., “Circular causal system in ecology”, Ann. N.-Y. Acad. Sci., 50 (1948), 221–246.

8. Глызин С.Д., “Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи «реакция-диффузия»”, Дифференциальные уравнения, 33:6 (1997), 805–811

9. Глызин С.Д., “Стационарные режимы одной конечноразностной аппроксимации уравнения Хатчинсона с диффузией”, Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений, 1986, 112–127;

10. Глызин С.Д., “Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона”, Модел. и анализ информ. систем, 14:3 (2007), 29–42;

11. Горчакова Е.В., “Динамика слабого взаимодействия в системе близких видов”, Модел. и анализ информ. систем, 18:1 (2011), 68–74;

12. Толбей А.О., “Локальная динамика трех осцилляторов со связью вещательного типа”, Модел. и анализ информ. систем, 19:3 (2012), 105–112;

13. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Локальные методы анализа динамических систем, ЯрГУ, Ярославль, 2006, 92 с.