Периодические и квазипериодические решения в системе трех уравнений Хатчинсона с запаздывающей вещательной связью
Аннотация
Изучается динамика ассоциации, состоящей из трех одинаковых колебательных элементов. Структура связи между осцилляторами предполагается вещательной, т.е. один из элементов системы односторонним образом воздействует на два других, которые, в свою очередь, взаимодействуют друг с другом. Важным свойством связи между осцилляторами является наличие в ней запаздывания по времени, что, очевидным образом, часто встречается в приложениях. Изучаемая система моделирует ситуацию из популяционной динамики, когда популяции слабо связаны между собой, например, разделены географически. При этом одна из популяций может влиять на обе оставшиеся, которые в свою очередь способны влиять друг на друга, но не влияют на первую. Каждый отдельный осциллятор представлен логистическим уравнением с запаздыванием (уравнением Хатчинсона). В работе выполнен локальный асимптотический анализ данной системы в случае близости параметров осцилляторов к значениям, при которых происходит бифуркация Андронова–Хопфа, кроме того, предполагаются малыми коэффициенты связи в системе. В этой ситуации к нашей задаче применим известный метод нормальных форм, который позволяет свести изучение динамики системы в некоторой окрестности единичного состояния равновесия к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на устойчивом интегральном многообразии. Для построенной нормальной формы найдены простейшие режимы, полученные с использованием симметрии задачи, и условия их устойчивости. С учетом полученных формул численно проанализированы фазовые перестройки, происходящие в системе. Показано, что запаздывание в цепи связи осцилляторов существенно влияет на качественное поведение решений системы.
Ключевые слова
Об авторе
Елена Александровна МарушкинаРоссия
канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. Лаборатории дискретной и вычислительной геометрии им. Б. Н. Делоне
Список литературы
1. Uri Alon, “Network motifs: theory and experimental approaches”, Nature Reviews Genetics, 8:6 (2007), 450–461.
2. Milo R., Shen-Orr S., Itzkovitz S., et al., “Network motifs: Simple Building Blocks of Complex Networks”, Science, 298:5594 (2002), 824–827.
3. Yechiam Yemini, The Topology of Biological Networks, Computer Science Department, Columbia University, 2004.
4. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., “Релаксационные автоколебания в сетях импульсных нейронов”, Успехи математических наук, 70:3(423) (2015), 3–76
5. Глызин С.Д., Киселева Е.О., “Учет запаздывания в цепочке связи между осцилляторами”, Модел. и анализ информ. систем, 17:2 (2010), 133–143;
6. Глызин С.Д., Солдатова Е.А., “Фактор запаздывания и десинхронизация колебаний связанных осцилляторов ФитцХью–Нагумо”, Модел. и анализ информ. систем, 17:3 (2010), 134–143;
7. Hutchinson G.E., “Circular causal system in ecology”, Ann. N.-Y. Acad. Sci., 50 (1948), 221–246.
8. Глызин С.Д., “Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи «реакция-диффузия»”, Дифференциальные уравнения, 33:6 (1997), 805–811
9. Глызин С.Д., “Стационарные режимы одной конечноразностной аппроксимации уравнения Хатчинсона с диффузией”, Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений, 1986, 112–127;
10. Глызин С.Д., “Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона”, Модел. и анализ информ. систем, 14:3 (2007), 29–42;
11. Горчакова Е.В., “Динамика слабого взаимодействия в системе близких видов”, Модел. и анализ информ. систем, 18:1 (2011), 68–74;
12. Толбей А.О., “Локальная динамика трех осцилляторов со связью вещательного типа”, Модел. и анализ информ. систем, 19:3 (2012), 105–112;
13. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Локальные методы анализа динамических систем, ЯрГУ, Ярославль, 2006, 92 с.
Для цитирования:
Марушкина Е.А. Периодические и квазипериодические решения в системе трех уравнений Хатчинсона с запаздывающей вещательной связью. Моделирование и анализ информационных систем. 2018;25(1):102-111. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-102-111
For citation:
Marushkina E.A. Periodic and Quasiperiodic Solutions in the System of Three Hutchinson Equations with a Delayed Broadcast Connection. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018;25(1):102-111. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-102-111