О минимальном коэффициенте поглощения для n-мерного симплекса

Пусть  \(n\in{\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\).  Для невырожденного симплекса
\(S\subset{\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра  тяжести  с коэффициентом \(\sigma.\)
Положим \(\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.\)
Величину \(\xi(S)\) будем называть коэффициентом поглощения куба \(Q_n\) симплексом \(S\). В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в \(Q_n\), т.е. величины \(\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.\) Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оценивании
норм интерполяционных проекторов. Общие оценки \(\xi_n\) были ранее получены в работах первого автора.
Всегда \(n\leq\xi_n< n+1\). Если существует матрица Адамара порядка \(n+1\), то \(\xi_n=n\).
Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид \(\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\)  \((n>2)\).
Cуществует не зависящая от \(n\)  константа \(c>0\), такая что для любого симплекса \(S\subset Q_n\), имеющего максимальный объём, выполняются неравенства \(c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)\). Это мотивиpует применение для оценивания \(\xi_n\) сверху симплексов максимального объёма в \(Q_n\). Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный \(0/1\)-определитель порядка \(n\) или максимальный \(-1/1\)-определитель порядка \(n+1\). В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных \(-1/1\)-определителей.
Для ряда значений \(n\) c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы \(\xi_n\), полученные теоретическим путём.
Приводятся лучшие известные оценки \(\xi_n\) cверху для \(n\leq 118\).

1. Климов В.С., Ухалов А.Ю., Решение задач математического анализа с использованием систем компьютерной математики, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2014, 96 с.;

2. Невский М.В., Хлесткова И.В., “К вопросу о минимальной линейной интерполяции”, Современные проблемы математики и информатики, 9, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2008, 31–37;

3. Невский М.В., “Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора”, Модел. и анализ информ. систем, 16:1 (2009), 24–43;

4. Невский М.В., “Об одном свойстве n-мерного симплекса”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 580–593;

5. Невский М.В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославль: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2012;

6. Невский М.В., Ухалов А.Ю., “О числовых характеристиках симплекса и их оценках”, Модел. и анализ информ. систем, 23:5 (2016), 603–619;

7. Невский М.В., Ухалов А.Ю., “Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом”, Модел. и анализ информ. систем, 24:1 (2017), 94–110;

8. Холл M., Комбинаторика, Мир, Москва, 1970;

9. Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241–243 (1996), 519–598.

10. Lassak M., “Parallelotopes of maximum volume in a simplex”, Discrete Comput. Geom., 21:3 (1999), 449–462.

11. Mangano S., Mathematica cookbook, O’Reilly Media Inc., Cambridge, 2010.

12. Nevskii M., “Properties of axial diameters of a simplex”, Discrete Comput. Geom., 46:2 (2011), 301–312.

13. Scott P.R., “Lattices and convex sets in space”, Quart. J. Math. Oxford (2), 36 (1985), 359–362.

14. Scott P.R., “Properties of axial diameters”, Bull. Austral. Math. Soc., 39:3 (1989), 329– 333.