О минимальном коэффициенте поглощения для n-мерного симплекса

Аннотация

Пусть  \(n\in{\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\).  Для невырожденного симплекса
\(S\subset{\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра  тяжести  с коэффициентом \(\sigma.\)
Положим \(\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.\)
Величину \(\xi(S)\) будем называть коэффициентом поглощения куба \(Q_n\) симплексом \(S\). В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в \(Q_n\), т.е. величины \(\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.\) Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оценивании
норм интерполяционных проекторов. Общие оценки \(\xi_n\) были ранее получены в работах первого автора.
Всегда \(n\leq\xi_n< n+1\). Если существует матрица Адамара порядка \(n+1\), то \(\xi_n=n\).
Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид \(\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\)  \((n>2)\).
Cуществует не зависящая от \(n\)  константа \(c>0\), такая что для любого симплекса \(S\subset Q_n\), имеющего максимальный объём, выполняются неравенства \(c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)\). Это мотивиpует применение для оценивания \(\xi_n\) сверху симплексов максимального объёма в \(Q_n\). Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный \(0/1\)-определитель порядка \(n\) или максимальный \(-1/1\)-определитель порядка \(n+1\). В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных \(-1/1\)-определителей.
Для ряда значений \(n\) c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы \(\xi_n\), полученные теоретическим путём.
Приводятся лучшие известные оценки \(\xi_n\) cверху для \(n\leq 118\).