О гипотезах Ходжа, Тэйта и Мамфорда–Тэйта для расслоенных произведений семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-312-322

Полный текст:


Аннотация

Доказаны гипотезы Ходжа, Тэйта и Мамфорда-Тэйта для расслоенного произведения двух неизотривиальных 1-параметрических семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1 при некоторых условиях на вырожденные слои, ранги групп Нерона-Севери общих геометрических слоёв семейств и представления групп Ходжа в трансцендентных частях рациональных когомологий.
Пусть \(\pi_i:X_i\to C\quad (i = 1, 2) \,-\,\) проективное неизотривиальное семейство поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой \(C\). Предположим, что дискриминантные локусы \(\Delta_i=\{\delta\in C\,\,\vert\,\, Sing(X_{i\delta})\neq\varnothing\}\) не пересекаются, \(h^{2,0}(X_{ks})=1,\quad h^{1,0}(X_{ks}) = 0\) для любого гладкого слоя \(X_{ks}\), причём выполнены следующие условия:
\((i)\) для любой точки \(\delta \in \Delta_i\) и преобразования Пикара--Лефшеца \( \gamma \in GL(H^2 (X_{is}, Q)) \), ассоциированного с гладкой частью \(\pi'_i: X'_i\to C\setminus\Delta_i\) морфизма \(\pi_i\) и с обходом вокруг точки \(\delta \in C\), имеем неравенство \((\log(\gamma))^2\neq0\);
\((ii)\) многообразия \(X_i \, (i = 1, 2)\), кривая \(C\) и структурные морфизмы \(\pi_i:X_i\to C\) определены над некоторым конечнопорожденным подполем \(k \hookrightarrow C\).
Если для общих геометрических слоев \(X_{1s}\) \, и \, \(X_{2s}\) выполнено хотя бы одно из следующих условий: \((a)\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\) является нечетным числом, \(\,\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\); \((b)\) кольцо \( End_{ Hg(X_{1s})} NS_ Q(X_{1s})^\perp\) - мнимое квадратичное поле, \(\, b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq 4,\) \(\, End_{ Hg(X_{2s})} NS_ Q(X_{2s})^\perp\) -- вполне вещественное поле или \(\, b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\,>\, b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\); \((c)\) \([b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq 4, \, End_{ Hg(X_{1s})} NS_ Q(X_{1s})^\perp= Q\); \(\,\) \(b_2(X_{1s})- rank NS(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})- rank NS(X_{2s})\), то для расслоенного произведения \(X_1 \times_C X_2\) верна гипотеза Ходжа, для любого гладкого проективного \(k\)-многообразия \(X_0\) с условием \(X_1 \times_C X_2\) \(\widetilde{\rightarrow}\) \(X_0 \otimes_k C\) верны гипотеза Тэйта об алгебраических циклах и гипотеза Мамфорда-Тэйта для когомологий чётной степени.
Более того, пространство \(H^2_{\text{é}t}(X_0 \otimes_k \overline{k}, Q_l(1))\) порождается классами дивизоров.

é

Об авторе

Ольга Владимировна Орешкина (Никольская)
Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых
Россия
канд. физ.-мат. наук, доцент


Список литературы

1. Hodge W. V. D., “The topological invariants of algebraic varieties”, Proceedings of International Congress of Mathematicians, 1, 1952, 182–192.

2. Танкеев С. Г., “Циклы на простых абелевых многообразиях простой размерности”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:1 (1982), 155–170

3. Gordon B. B., “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”, Appendix in: Lewis J.D., A survey of the Hodge conjecture. 2 ed., CRM Monograph Series, 10, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, 297–356.

4. Никольская О. В., “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств K3 поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164

5. Никольская О. В., “О геометрии гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей”, Матем. сб., 205:2 (2014), 123–130

6. Никольская О. В. , “Об алгебраических классах когомологий на гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей”, Матем. заметки, 96:5 (2014), 738–746

7. Mamford D., “Families of abelian varieties”, Proc. of Symposium in Pure Math. AMS, IX (1966), 347–351.

8. Serre J.-P. , “Representations l-adiques”, Algebraic number theory, Papers contributed for the International Symposium, Kyoto, 1976, ed. S. Iyanaga, Japan Society for the Promotion of Science, Tokyo, 1977, 177–193.

9. Танкеев С.Г., “Поверхности типа K3 над числовыми полями и гипотеза МамфордаТэйта. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 59:3 (1995), 179—206

10. Танкеев С. Г., “Циклы на простых абелевых многообразиях простой размерности над числовыми полями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:6 (1987), 1214—1227

11. Pink R. , “l-adic algebraic monodromy group cocharacters, and the Mumford-Tate conjecture”, J. reine. angew. Math., 495 (1998), 187–237.

12. Tate J., “Algebraic cycles and poles of zeta functions”, Arithmetical Algebraic Geometry, Proc. Conf. Purdue Univ., 1963, Harper and Row, New York, 1965, 93–110.

13. Tate J. , “Endomorphisms of abelian varieties over finite fields”, Invent. Math., 2 (1966), 134–144.

14. Faltings G. , “Endlichkeitss¨atze f¨ur abelsche Variet¨aten ¨uber Zahlk¨orpern”, Invent. Math., 73:3 (1983), 349–366.

15. Танкеев С. Г. , “О циклах на абелевых многообразиях простой размерности над конечными и числовыми полями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 47:2 (1983), 356—365

16. Moonen B. , “On the Tate and Mumford-Tate conjectures in codimension one for varieties with h 2,0 = 1”, Duke Math. J., 166:4 (2017), 739–799.

17. Pignatelli R. , “Some (big) irreducible components of the moduli space of minimal surfaces of general type with pg = q = 1 and K2 = 4”, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 20:3 (2009), 207–226.

18. Zarhin Yu. G. , “Hodge groups of K3 surfaces”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, 341 (1983), 193–220.

19. Никольская О.В., “Об алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1”, Моделирование и анализ информационных систем, 23:4 (2016), 440–465

20. Мустафин Г.А., “Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:5 (1985), 948–978

21. Deligne P., “Th´eorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. ´ , 44 (1974), 5–77.

22. Kempf G. et al., Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Mathematics, 339, SpringerVerlag, Berlin – New York, 1973.

23. Куликов Вик. С., “Вырождения K3-поверхностей и поверхностей Энриквеса”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 41:5 (1977), 1008–1042

24. Танкеев С. Г. , “Об арифметике и геометрии общего гиперповерхностного сечения”, Изв. РАН. Сер. матем., 66:2 (2002), 173–204

25. Kawamata Y. , “Kodaira dimension of algebraic fiber spaces over curves”, Invent. Math., 66:1 (1982), 57–71.

26. Birkar C. , “Iitaka conjecture Cn,m in dimension six”, Compositio Mathematica, 2009:6 (1979), 1442–1446.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Орешкина (Никольская) О.В. О гипотезах Ходжа, Тэйта и Мамфорда–Тэйта для расслоенных произведений семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1. Моделирование и анализ информационных систем. 2018;25(3):312-322. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-312-322

For citation: Oreshkina (Nikol’skaya) O.V. On the Hodge, Tate and Mumford-Tate Conjectures for Fibre Products of Families of Regular Surfaces with Geometric Genus 1. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018;25(3):312-322. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-312-322

Просмотров: 35

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)