О дифференцируемости по Тейлору в пространствах Lp, 0 < p ≤ ∞


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-323-330

Полный текст:


Аннотация

Функция \(f\in L_p[I], \;p>0,\) называется \((k,p)\)-дифференцируемой в точке \(x_0\in I,\) если существует алгебраический многочлен \(\pi\) степени не больше \(k,\) для которого выполняется \( \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}), \) где \(\;J_h=[x_0-h; x_0+h]\cap I.\) Во внутренней точке при \(k=1\) и \(p=\infty\) это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Имеется стандартная "иерархия" существования дифференциалов: если \(p_1<p_2,\) то из \((k,p_2)\)-дифференцируемости следует \((k,p_1)\)-дифференцируемость. В работах С.Н. Бернштейна, А.П. Кальдерона и А. Зигмунда были даны приложения такой конструкции к построению описания функциональных пространств (\(p=\infty\)) и изучению локальных свойств решений дифференциальных уравнений \((1\le p\le\infty)\) соответственно. Данная статья связана с первой указанной работой. В статье вводится понятие равномерной дифференцируемости. Назовём \((k,p)\)-дифференцируемую во всех точках отрезка \(I\) функцию \(f\) равномерно \((k,p)\)-дифференцируемой на \(I\), если для любого числа \(\varepsilon>0\) найдется число \(\delta>0\)  такое, что для каждой точки \(x\in I\) выполняется \(\Vert f-\pi\Vert_{L_p[J_h]}<\varepsilon\cdot h^{k+\frac{1}{p}} \;\) при \(0<h<\delta, \; J_h=[x\!-\!h; x\!+\!h]\cap I,\) где \(\pi\) -- многочлен из условия \((k,p)\)-дифференцируемости в точке \(x\). На основе методов локальных приближений функций алгебраическими многочленами показано, что из равномерной \((k,p)\)-дифференцируемости функции \(f\) при некотором \(1\le p\le\infty\) следует \(f\in C^k[I].\) Следовательно, в таком случае дифференциалы "эквивалентны". Поскольку каждая функция из \(C^k[I]\) является равномерно \((k,p)\)-дифференцируемой на отрезке \(I\) при \(1\le p\le\infty,\) то получаем определённый критерий принадлежности функции этому пространству. Диапазон \(0<p<1,\) очевидно, может быть включён в необходимое условие принадлежности функции \(C^k[I]\), однако достаточность дифференцируемости по Тейлору в этом диапазоне пока в полной мере не доказана.

Об авторе

Анатолий Николаевич Морозов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
канд. физ.-мат. наук, доцент


Список литературы

1. Бернштейн С. Н., “К вопросу о локальном наилучшем приближении функций”, Докл. АН СССР, 26:9 (1940), 839–842 .

2. Calderon A. P., Zygmund A., “Local properties of solution of elliptic partial differential equation”, Studia Math., 20 (1961), 171–225.

3. Чебышев П. Л., Собрание сочинений, В 5 т. Т. 2, Изд. АН СССР, М.-Л., 1947.

4. Морозов А. Н., “Аналог теоремы Бернштейна в пространстве L1”, Матем. заметки, 57:5 (1995), 699–703.

5. Морозов А. Н., “Об одном описании пространств дифференцируемых функций”, Матем. заметки, 70:5 (2001), 758—768.

6. Брудный Ю. А., “Критерии существования производных в L p"”, Математический сборник, 73:1 (1967), 42—64.

7. Брудный Ю. А.,, “Пространства, определяемые с помощью локальных приближений”, Тр. ММО, 24 (1971), 69—132.

8. Морозов А. Н., “Локальные приближения дифференцируемых функций”, Мат. заметки, 100:2 (2016), 248–255.

9. Иродова И. П., “Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочнополиномиальной аппроксимации”, Исследования по теории функций многих вещественных переменных, Cб. науч. трудов, Ярославль, 1980, 92–117.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Морозов А.Н. О дифференцируемости по Тейлору в пространствах Lp, 0 < p ≤ ∞. Моделирование и анализ информационных систем. 2018;25(3):323-330. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-323-330

For citation: Morozov A.N. On the Taylor Differentiability in Spaces Lp, 0 < p ≤ ∞. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018;25(3):323-330. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-323-330

Просмотров: 33

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)