The Dynamics of the Logistic Equation with Delay and Delayed Control
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-5-61-77
Abstract
Dynamical properties of a logistic equation with delay and delay control are studied by asymptotic methods. It is shown that effective control of characteristics of relaxation cycle is possible. A new method for studying the dynamics in the case of suffitiently large delay control coeffitient is worked out. It is found that the original problem of the dynamics of equations with delays is reduced to the problem of non-local dynamics of special nonlinear boundary value problems of parabolic type.
About the Author
S. A. Kaschenko
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. (Hale G. Theory of functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.)
2. Diekmann O., van Gils S.A., Verduyn Lunel S.M., Walther H.-O. Delay Equations: Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis. New York: Springer-Verlag, 1995.
3. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1996.
4. Haken H. Brain Dinamics; Synchronization and Activity Patterns in Pulse-Coupled Neural Nets with Delays and Noise. Springer, 2002.
5. May R.M. Stability and Complexity in Model Ecosystems. 2nd ed. Princeton: Princeton University Press, 1974.
6. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer, 1984.
7. Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. New York: Academic Press, 1993.
8. Huang W. Global dynamics for a reaction-diffusion equation with time delay // J. Differential Equations. 1998. Vol. 143. P. 293–326.
9. Pyragas K. Continious control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. Vol. 170. P. 42.
10. Nakajima H., Ueda Y. Limitation of generalized delayed feedback control of chaos // Physica D. 1998. Vol. 111. P. 143.
11. Hovel P., Scholl E. Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods // Physical Review E. 2005. Vol. 75. P. 046203.
12. Fiedler B., Flunkert V., Georgi M., Hovel P., Scholl E. Refuting the odd number limitation of time-delayed feedback control // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 114101.
13. Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №. 1—4. P. 66—87.
14. Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a − by(t − τ )) y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. 1958. Vol. IV. P. 1—18.
15. Jones G. S. The existence of periodic solutions of f'(x) = −αf(x−1)[1+f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435—450.
16. Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. C. 64–85. [Kashchenko S. A. Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation // Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations). Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64–85 (in Russian)].
17. Кащенко С. А. Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kashchenko S.A. Asymptotics of Solutions of the Generalized Hutchinson’s Equation // Model. and Anal. Inform. Sist. 2012. Vol. 19, №3. P. 32–62 [in Russian]).
18. Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Релаксационные колебания в лазерах. М.: УРСС, 2013. (Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Relaxation oscillations in lasers. Moscow: URSS, 2013 [in Russian]).
19. Кащенко С. А. Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу ”
20. хищник-жертва“ // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 52–98. (Kashchenko S. A. Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem // Model. and Anal. Inform. Sist. 2013. Vol. 20, №1. P. 52–98 [in Russian]).
21. Кащенко С. А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва // ДАН СССР. 1982. Т. 266, N 4. C. 792–795. (English transl.: Kashchenko S. A. Study by large parameter method of system of nonlinear differential-difference equations modeling ‘predator-sacrifice’ problem // Dokl. Akad. Nauk USSR. 1982. Vol. 266. P. 792–795.)
22. Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 5. С. 18–34. (Kashchenko S.A. Stationary States of a Delay Differentional Equation of Insect Population’s Dynamics // Model. and Anal. Inform. Sist. 2012. Vol. 19, №5. P. 18–34 [in Russian]).
23. Кащенко С.А. Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 328–330. (Kashchenko S.A. Stationary regimes of equation describing numbers of insects // Reports Academy of Sciences of the USSR. 1983. Vol. 273. P. 328–330 [in Russian]).
24. Эдварс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. (Edwards R.E. Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Pub, 1965.)
25. Кащенко С.А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 4. С. 693–702. (Kashchenko S. A. Bifurcations in the neighborhood of a cycle under small perturbations with a large delay // Zh. vychisl. mat. i mat. fiz. 2000. Vol. 40, №5. P. 693–702 [in Russian]).
26. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. (Marsden J., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York: Springer-Verlag, 1976.)
27. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. (Hartman P. Ordinary Differential Equations. Wiley, 1964.)
28. Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1448–1451. (Kashchenko S.A. Application of method of normalization for studying of differential-difference equations with small multiplier for derivative // Differential Equations. 1989. Vol. 25, №8. P. 1448–1451 [in Russian]).
29. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcations and chaos. 1996. Vol. 6, №7. P. 1093–1109.
30. Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // ДАН СССР. 1988. Т. 299, N 5. С. 1049–1053. (Kashchenko S.A. On the quasi-normal forms for parabolic equations with small diffusion // Reports Academy of Sciences of the USSR. 1988. Vol. 299. P. 1049–1053 [in Russian]).
31. Кащенко С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием //Дифф. уравнения. 1999. Т. 35(10). С. 1343–1355. (Kashchenko S. A. Local Dynamics of non-linear singular perturbation systems with delay // Diff. Equations. 1999. Vol. 35. №10. P. 1343–1355 [in Russian]).
32. Кащенко И.С. Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 743–747. (English transl.: Kashchenko I.S. Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control // Doklady Mathematics. 2011. Vol. 83, No. 2. P. 258–261.)
33. Кащенко И.С. Асимптотическое исследование корпоративной динамики систем уравнений, связанных через запаздывающее управление // Доклады Академии наук. 2012. Т. 443. № 1. С. 9–13. (English transl.: Kashchenko I.S. Asymptotic Study of the Corporate Dynamics of Systems of Equations Coupled by Delay Control // Doklady Mathematics. 2012. Vol. 85, No. 2. P. 163–166.)
34. Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1998. Т. 38, №3. C. 457–465. (Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 1998. Vol. 38, №3. P. 457–465 [in Russian]).
Review
For citations:
Kaschenko S.A. The Dynamics of the Logistic Equation with Delay and Delayed Control. Modeling and Analysis of Information Systems. 2014;21(5):61-77. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-5-61-77
Views:
898
Email this article 