Об аппроксимируемости корневыми классами HNN-расширений групп

Пусть K — произвольный корневой класс групп (это означает, что K содержит хотя бы одну неединичную группу, замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей и удовлетворяет условию Грюнберга: если 1 ≤ Z ≤ Y ≤ X — субнормальный ряд группы X такой, что фактор-группы X/Y и Y /Z принадлежат классу K, то в груп- пе X существует нормальная подгруппа T такая, что T ⊆ Z и фактор-группа X/T принадлежит классу K). В данной статье исследуются условия ап- проксимируемости классом K (K-аппроксимируемости) частного случая общей конструкции HNN-расширения, когда связанные подгруппы совпадают. Пусть G = (B, t; t¯¹Ht = H, φ). В случае, когда B ∈ K и подгруппа H нормальна в группе B, автором получено достаточное условие K-аппроксимируемости группы G, которое становится и необходимым, если класс K замкнут относительно факторизации (т. е. взятия гомоморфных образов). Также установлены критерии K-аппроксимируемости группы G при условии, что класс K замкнут относительно факторизации, группа B K-аппроксимируема, а подгруппа H нормальна в группе B и удовлетворяет хотя бы одному из следующих ограничений: группа Aut_G(H) всех автоморфизмов подгруппы H, представляющих собой ограничения на эту подгруппу всевозможных внутренних автоморфизмов группы G, является абелевой; группа Aut_G(H) конечна; автоморфизм φ совпадает с ограничением на подгруппу H некоторого внутреннего автоморфизма группы B; подгруппа H конечна; подгруппа H является бесконечной циклической; подгруппа H имеет конечный ранг Гирша–Зайцева (т. е. обладает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является либо периодической, либо бесконечной циклической группой). Кроме того, найдено достаточное условие K-аппроксимируемости группы G в случае, когда группа B K-аппроксимируема, а подгруппа H является ее ретрактом (в этом утверждении класс K не обязан быть замкнутым относительно факторизации).

1. Азаров Д. Н. Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп: Дис. канд. физ.-мат. наук. Иваново, 2000. [Azarov D. N. Approksimiruemost svobodnogo proizvedeniya grupp s odnoy obedinennoy podgruppoy nekotorymi klassami konechnykh grupp: Dis. kand. fiz.-mat. nauk. Ivanovo, 2000. (in Russian)].

2. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными p-группами // Чебышевский cб. 2010. Т. 11. Вып. 3. С. 11–21. [Azarov D. N. On the residual finiteness of p-groups // Chebyshevskii Sb. 2010. V. 11. No. 3. P. 11–21 (in Russian)].

3. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными p-группами нисходящих HNN-расширений групп // Чебышевский сб. 2012. Т. 13. Вып. 1. С. 9–19. [Azarov D. N. On the virtual residuality of descending HNN-extensions of groups by finite p-groups // Chebyshevskii Sb. 2012. V. 13. No. 1. P. 9–19 (in Russian)].

4. Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости HNN-расширений и обобщенных свободных произведений групп конечного ранга // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54. № 6. С. 1203–1215. [English transl.: Azarov D. N. On the residual finiteness of the HNNextensions and generalized free products of finite rank groups // Sib. Math. J. 2013. V. 54. No. 6. P. 959–967].

5. Азаров Д. Н., Гольцов Д. В. О почти аппроксимируемости обобщенных свободных произведений и HNN-расширений групп некоторыми классами конечных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2012. Вып. 2. С. 86–91. [Azarov D. N., Goltsov D. V. O pochti approksimiruemosti obobshchennykh svobodnykh proizvedeny i HNN-rasshireny grupp nekotorymi klassami konechnykh grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2012. Vyp. 2. S. 86–91 (in Russian)].

6. Азаров Д. Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5 (2002). С. 6–10. [Azarov D. N., Tieudjo D. Ob approksimiruemosti svobodnogo proizvedeniya grupp s obedinennoy podgruppoy kornevym klassom grupp // Nauch. tr. Ivan. gos. un-ta. Matematika. Vyp. 5 (2002). S. 6–10 (in Russian)].

7. Варламова И. А., Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными группами групп Баумслага–Солитера // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2012. Вып. 2. С. 107–114. [Varlamova I. A., Moldavanskii D. I. Ob approksimiruemosti konechnymi gruppami grupp Baumslaga-Solitera // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2012. Vyp. 2. S. 107–114 (in Russian)]

8. Гольцов Д. В. О почти аппроксимируемости корневыми классами обобщенных свободных произведений и HNN-расширений групп // Чебышевский сб. 2013. Т. 14. Вып. 3. C. 34–41. [Goltsov D. V. O pochti approksimiruemosti kornevymi klassami obobshchennykh svobodnykh proizvedeny i HNN-rasshireny grupp // Chebyshevskii Sb. 2013. T. 14. Vyp. 3. S. 34–41 (in Russian)].

9. Гудовщикова А. С., Соколов Е. В. Два замечания о классе конечных разрешимых π-групп // Вестн. молодых ученых ИвГУ. 2012. Вып. 12. С. 3–4. [Gudovshchikova A. S., Sokolov E. V. Dva zamechaniya o klasse konechnykh razreshimykh π-grupp // Vestn. molodykh uchenykh IvGU. 2012. Vyp. 12. S. 3–4 (in Russian)].

10. Иванова О. А., Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными π-группами некоторых групп с одним определяющим соотношением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2008. Вып. 6. С. 51–58. [Ivanova O. A., Moldavanskii D. I. Approksimiruemost konechnymi π-gruppami nekotorykh grupp s odnim opredelyayushchim sootnosheniem // Nauch. tr. Ivan. gos. un-ta. Matematika. 2008. Vyp. 6. S. 51–58 (in Russian)].

11. Коптева А. А., Соколов Е. В. Некоторые аппроксимационные свойства HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2013. Вып. 2. С. 78–88. [Kopteva A. A., Sokolov E. V. Nekotorye approksimatsionnye svoystva HNN-rasshireny grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2013. Vyp. 2. S. 78–88. (in Russian)].

12. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 448 с. [Lyndon R., Schupp P. Combinatorial group theory. Springer-Verlag, 1977. 339 p.].

13. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49–60. [Maltsev A. I. O gomomorfizmakh na konechnye gruppy // Uchen. zap. Ivan. gos. ped. in-ta. 1958. T. 18. S. 49–60 (in Russian)].

14. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными p-группами некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2003. Вып. 3. С. 102–116. [Moldavanskii D. I. Approksimiruemost konechnymi p-gruppami nekotorykh HNN-rasshireny grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2003. Vyp. 3. S. 102–116 (in Russian)].

15. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными p-группами HNN-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2000. Вып. 3. С. 129–140. [Moldavanskii D. I. Approksimiruemost konechnymi p-gruppami HNN-rasshireny // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2000. Vyp. 3. S. 129–140 (in Russian)].

16. Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными p-группами HNN-расширений нильпотентных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2006. Вып. 3. С. 128–132. [Moldavanskii D. I. Ob approksimiruemosti konechnymi p-gruppami HNN-rasshireny nilpotentnykh grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2006. Vyp. 3. S. 128–132 (in Russian)].

17. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2002. Вып. 3. С. 123–133. [Moldavanskii D. I. Finitnaya approksimiruemost nekotorykh HNN-rasshireny grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2002. Vyp. 3. S. 123–133 (in Russian)].

18. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость нисходящих HNN-расширений групп // Укр. мат. журн. 1992. Т. 44. № 6. С. 842–845. [Moldavanskii D. I. Finitnaya approksimiruemost niskhodyashchikh HNN-rasshireny grupp // Ukr. mat. zhurn. 1992. T. 44. No. 6. S. 842–845 (in Russian)].

19. Соколов Е. В. Отделимость подгрупп некоторыми классами конечных групп. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 с. ISBN 978-3-8465-8581-8. [Sokolov E. V. Otdelimost podgrupp nekotorymi klassami konechnykh grupp. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 s. ISBN 978-3-8465-8581-8 (in Russian)].

20. Туманова Е. А. Аппроксимируемость конечными p-группами HNN-расширений групп // Вестн. Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2012. Вып. 2. С. 139–141. [Tumanova E. A. Approksimiruemost konechnymi p-gruppami HNN-rasshireny grupp // Vestn. Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2012. Vyp. 2. S. 139–141 (in Russian)].

21. Туманова Е. А. Некоторые достаточные условия аппроксимируемости обобщенных свободных произведений корневыми классами групп // Научно-исследовательская деятельность в классическом университете: ИвГУ — 2013: Сборник статей по итогам научной конференции. Иваново, 28 января–8 февраля 2013 г. Иваново: ИвГУ, 2013. С. 9–12. [Tumanova E. A. Nekotorye dostatochnye usloviya approksimiruemosti obobshchennykh svobodnykh proizvedeny kornevymi klassami grupp // Nauchnoissledovatelskaya deyatelnost v klassicheskom universitete: IvGU — 2013: Sbornik statey po itogam nauchnoy konferentsii. Ivanovo, 28 yanvarya–8 fevralya 2013 g. Ivanovo: IvGU, 2013. S. 9–12 (in Russian)].

22. Туманова Е. А. Об аппроксимируемости конечными π-группами HNN-расширений групп // Вестн. Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2013. Вып. 2. С. 94–102. [Tumanova E. A. Ob approksimiruemosti konechnymi π-gruppami HNNrasshireny grupp // Vestn. Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2013. Vyp. 2. S. 94–102 (in Russian)].

23. Туманова Е. А. Об аппроксимируемости корневыми классами групп обобщенных свободных произведений с нормальным объединением // Материалы XII Международной конференции “Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения”, посвященной восьмидесятилетию профессора В. Н. Латышева. Тула, 21–25 апреля 2014 г. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. C. 97–100. [English transl.: Tumanova E. A. Certain residually root (class of groups) generalized free products with normal amalgamation // Proceedings of XII International Conference “Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application”, dedicated to 80-th anniversary of Professor V. N. Latyshev. Tula, 21–25 April 2014. Tula: TSPU, 2014. P. 191–193].

24. Andreadakis S., Raptis E., Varsos D. A characterization of residually finite HNN-extensions of finitely generated Abelian groups // Arch. Math. 1988. V. 50. No. 6. P. 495–501.

25. Andreadakis S., Raptis E., Varsos D. Residual finiteness and Hopficity of certain HNN extensions // Arch. Math. 1986. V. 47. P. 1–5.

26. Aschenbrenner M., Friedl S. A criterion for HNN extensions of finite p-groups to be residually p // J. Pure Appl. Algebra. 2011. V. 215. No. 9. P. 2280–2289.

27. Baumslag B., Tretkoff M. Residually finite HNN-extensions // Comm. Algebra. 1978. V. 6. P. 179–194.

28. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106. P. 193–209.

29. Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. V. 68. P. 199–201.

30. Borisov A. M., Sapir M. Polynomial maps over finite fields and residual finiteness of mapping tori of group endomorphisms // Invent. Math. 2005. V. 160. No. 2. P. 341–356.

31. Cohen D. E. Residual finiteness and Britton’s lemma // J. Lond. Math. Soc. 1977. V. 16. P. 232–234.

32. Dixon M. R., Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya. On various rank conditions in infinite groups // Algebra and Discrete Mathematics. 2007. No. 4. P. 23–43.

33. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. Lond. Math. Soc. 1957. V. 7. P. 29–62.

34. Hsu T., Wise D. Ascending HNN extensions of polycyclic groups are residually finite // J. Pure Appl. Algebra. 2003. V. 182. No. 1. P. 65–78.

35. Raptis E., Varsos D. Residual properties of HNN-extensions with base group an Abelian group // J. Pure Appl. Algebra. 1989. V. 59. No. 3. P. 285–290.

36. Raptis E., Varsos D. Some residual properties of certain HNN extensions // Bull. Greek Math. Soc. 1987. V. 28. P. 81–87.

37. Raptis E., Varsos D. The residual finiteness of HNN-extensions and generalized free products of nilpotent groups: A characterization // J. Aust. Math. Soc. Ser. A. 1992. V. 53. No. 3. P. 408–420.

38. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f. g. abelian group // J. Pure Appl. Algebra. 1991. V. 76. No. 2. P. 167–178.

39. Rhemtulla A. H., Shirvani M. The residual finiteness of ascending HNN-extensions of certain soluble groups // Ill. J. Math. 2003. V. 47. No. 1–2. P. 477–484.

40. Sokolov E. V. A characterization of root classes of groups // ArXiv math.GR:1308.1039. 41. Tieudjo D. On root-class residuality of some free constructions // JP Journal of Algebra, Number Theory and applications. 2010. V. 18. No. 2. P. 125–143.

41. Varsos D. The residual nilpotence of the fundamental group of certain graphs of groups // Houston J. Math. 1996. V. 22. No. 2. P. 233–248.