Алгоритм ветвей и границ для задачи коммивояжера не является алгоритмом прямого типа

В настоящей работе рассматривается понятие линейного разделяющего алгоритма прямого типа, введенное В. А. Бондаренко в 1983 г. Понятие алгоритма прямого типа определяется с помощью графа решений задачи комбинаторной оптимизации. Вершинами этого графа служат все допустимые решения задачи. Два решения называются смежными, если существуют входные данные, для которых эти решения и только они являются оптимальными. Ключевой особенностью алгоритмов прямого типа является то, что их трудоемкость оценивается снизу кликовым числом графа решений. В 2015–2018 гг. было опубликовано пять работ, основными результатами которых являются оценки кликовых чисел графов многогранников, ассоциированных с различными задачами комбинаторной оптимизации. В качестве основной мотивации в этих работах приводится тезис о том, что класс алгоритмов прямого типа является широким и включает в себя многие классические комбинаторные алгоритмы, в том числе алгоритм ветвей и границ для задачи коммивояжера, предложенный J. D. C. Little, K. G. Murty, D. W. Sweeney, C. Karel в 1963 г. Мы покажем, что этот алгоритм не является алгоритмом прямого типа. Ранее, в 2014 г., автором настоящей работы было показано, что венгерский алгоритм для задачи о назначениях не является алгоритмом прямого типа. Таким образом, класс алгоритмов прямого типа не является настолько широким, как предполагалось ранее.

метод ветвей и границ, задача коммивояжера, линейное разделяющее дерево, кликовое число, алгоритм прямого типа

1. V. Bondarenko, A. Nikolaev, and D. Shovgenov, “1-skeletons of the spanning tree problems with additional constraints”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 51, no. 7, pp. 682–688, 2017.

2. V. Bondarenko and A. Nikolaev, “On graphs of the cone decompositions for the min-cut and max-cut problems”, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 2016, 2016.

3. V. Bondarenko and A. Nikolaev, “Some properties of the skeleton of the pyramidal tours polytope”, Electronic Notes in Discrete Mathematics, vol. 61, pp. 131–137, 2017.

4. V. A. Bondarenko, A. V. Nikolaev, and D. Shovgenov, “Polyhedral characteristics of balanced and unbalanced bipartite subgraph problems”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 51, no. 7, pp. 576–585, 2017.

5. V. Bondarenko and A. Nikolaev, “On the skeleton of the polytope of pyramidal tours”, Journal of Applied and Industrial Mathematics, vol. 12, no. 1, pp. 9–18, 2018.

6. V. Bondarenko, “Nonpolynomial lowerbound of the traveling salesman problem complexity in one class of algorithms”, Automation and Remote Control, vol. 44, no. 9, pp. 1137–1142, 1983.

7. V. Bondarenko, “Geometricheskie metody sistemnogo analiza v kombinatornoy optimizatsii”, diss. ... dokt.fiz.-mat. nauk, Yaroslavl, 1993.

8. V. Bondarenko and A. Maksimenko, Geometricheskie konstruktsii i slozhnost v kombinatornoy optimizatsii. Moskva: URSS, 2008, 182 pp.

9. A. Maksimenko, “Kharakteristiki slozhnosti: klikovoe chislo grafa mnogogrannika i chislo pryamougolnogo pokrytiya”, Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem, vol. 21, no. 5, pp. 116–130, 2014.

10. J. Little, K. Murty, D. Sweeney, and C. Karel, “An algorithm for the traveling salesman problem”, Operations research, vol. 11, no. 6, pp. 972–989, 1963.

11. E. Reingold, J. Nievergelt, and N. Deo, Combinatorial algorithms: theory and practice. Pearson College Div, 1977, 433 pp.

12. M. Padberg and M. Rao, “The travelling salesman problem and a class of polyhedra of diameter two”, Mathematical Programming, vol. 7, no. 1, pp. 32–45, 1974.