Об одной задаче для симплекса и куба в Rⁿ

Аннотация

Пусть S — невырожденный симплекс в Rⁿ. Обозначим через α(S) минимальное σ > 0 такое, что единичный куб Q_n := [0, 1]ⁿ принадлежит трансляту σS. В случае α(S) ≠ 1 транслят α(S)S, содержащий Qn, есть образ S при гомотетии с центром в некоторой точке x ∈ Rⁿ . В статье получена следующая формула для вычисления x. Обозначим через x (j) (j = 1, . . . , n + 1) вершины S. Пусть A — матрица порядка n + 1, строки которой содержат координаты x (j) ; последний столбец A состоит из 1. Предположим, что A¯¹ = (l_ij). Тогда координаты x суть числа

xk = Pn+1 j=1 ( Pn i=1 |lij |) x (j) k − 1 Pn i=1 Pn+1 j=1 |lij | − 2 (k = 1, . . . , n).

В силу условия α(S) ≠ 1 знаменатель, стоящий в правой части этого равенства, отличен от нуля. Приводятся также оценки для норм проекторов при линейной интерполяции непрерывных функций, заданных на Q_n.