Семейства гладких рациональных кривых малой степени на многообразиях Фано степени 5 основной серии

Аннотация

В настоящей статье изучаются семейства гладких рациональных кривых степени 2, 3 и 4 на гладком трехмерном многообразии Фано X, являющемся линейным сечением грассманиана G(1, 4) прямых пространства P⁴, вложенного в пространство P⁹ по Плюкеру. Мы доказываем, что эти семейства являются неприводимыми многообразиями. Доказательство неприводимости семейств рациональных кривых степени d основано на исследовании вырождения раци- ональной кривой степени d в кривую, распадающуюся на неприводимую рациональную кривую степени d − 1 и прямую, пересекающиеся трансверсально в одной точке. Доказывается, что схема Гильберта кривых степени d на X неособа в точке, соответствующей такой приводимой кривой. Затем вычисления в рамках теории деформации показывают, что такая кривая варьируется в гладкую рациональную кривую степени d. Тем самым, множество приводимых кривых степени d вышеуказанного типа лежит в замыкании единственной компоненты схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на X. Из этого факта и неприводимости схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на грассманиане G(1, 4) выводится неприводимость схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на общем многообразии Фано X.