Модель прямоугольного шума на основе телеграфного процесса

В статье решается задача математического моделирования прямоугольного шума в электромагнитных сигналах, в частности на вихретоковых дефектограммах, для генерации качественных синтетических выборок при обучении алгоритмов машинного обучения для обнаружения и подавления прямоугольного шума в данных. Проведено комплексное исследование наивных моделей: детерминированного прямоугольного сигнала, прямоугольного сигнала с белым шумом и телеграфного процесса с белым шумом. Центральным объектом исследования является модель телеграфного процесса с белым шумом. Для этой модели аналитически выведены стационарные характеристики: функция плотности предельного распределения и автокорреляционная функция. Для оценки параметров модели впервые предложен и реализован полностью байесовский подход, использующий сэмплирование по Гиббсу и алгоритм прямой фильтрации и обратного сэмплирования (FFBS) для эффективного маргинализирования скрытых марковских состояний. Алгоритм быстро сходится, и к 1500-й итерации сэмплирования общая дисперсия параметров падает до значения $1e{-}6$. Установлено, что классические модели обладают фундаментальными ограничениями из-за несоответствующего реальности допущения о строгом постоянстве периода и скважности. Показано, что телеграфный процесс решает проблему стохастичности длительностей импульсов, однако игнорирование непрерывности переходных фронтов приводит к математическому артефакту — смещению мод теоретического предельного распределения по сравнению с эмпирическим. Также продемонстрировано, что отсутствие механизма низкочастотной фильтрации лишает автокорреляционную функцию модели характерной осциллирующей компоненты. Экспериментальное подтверждение значимости этих факторов обосновывает направление для дальнейших исследований — разработку модифицированных стохастических моделей, интегрирующих механизмы плавного переключения состояний для адекватного имитационного моделирования прямоугольного шума. В качестве эмпирической базы для тестирования моделей выступали вихретоковые дефектограммы рельсов. Тем не менее, разработанный математический аппарат может успешно использоваться для моделирования прямоугольного шума в других видах электромагнитных сигналах, например в ЭКГ и в магнитотеллурическом зондировании.

1. L. Y. Bystrov, A. N. Gladkov, and E. V. Kuzmin, “Detection of Square Wave Impulse Interference in Eddy Current Rail Defectograms,” Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 32, no. 2, pp. 172–205, 2025, doi: 10.18255/1818-1015-2025-2-172-205.

2. Z. F. M. Apandi, R. Ikeura, S. Hayakawa, and S. Tsutsumi, “An Analysis of the Effects of Noisy Electrocardiogram Signal on Heartbeat Detection Performance,” Bioengineering (Basel), vol. 7, no. 2, p. 53, 2020, doi: 10.3390/bioengineering7020053.

3. G. Li et al., “Improved Shift-invariant Sparse Coding for Noise Attenuation of Magnetotelluric Data,” Earth, Planets and Space, vol. 72, p. 45, 2020, doi: 10.1186/s40623-020-01173-7.

4. L. Y. Bystrov, A. N. Gladkov, and E. V. Kuzmin, “Sliding-Window SW-Criterion for Square Wave Noise Segmentation in Eddy Current Rail Defectograms,” in Proceedings of the 2026 28th International Conference on Digital Signal Processing and its Applications (DSPA), 2026, pp. 1–6. doi: 10.1109/DSPA69176.2026.11476746.

5. L. Y. Bystrov, A. N. Gladkov, and E. V. Kuzmin, “Suppression of Additive Periodic Low-Frequency Interference on Eddy-Current Defectograms,” Automatic Control and Computer Sciences, vol. 59, no. 7, pp. 895–909, 2025, doi: 10.3103/S0146411625700269.

6. A. N. Gladkov, L. Y. Bystrov, and E. V. Kuzmin, “Application of YOLO Family Neural Networks for Useful Signals Detection on Eddy Current Rail Defectograms,” Proceedings of the Institute for System Programming of the RAS, vol. 37, no. 6, pp. 131–150, 2025, doi: 10.15514/ISPRAS-2025-37(6)-25.

7. S. I. Nikolenko, Mashinnoe obuchenie: osnovy. Piter, 2025.

8. A. W. Van der Vaart, Asymptotic Statistics. Camridge University Press, 1998.

9. W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 3rd ed., vol. 1. John Wiley & Sons, 1970.

10. Z. Shang, X. Zhang, S. Yan, and K. Zhang, “Suppression of Strong Cultural Noise in Magnetotelluric Signals Using Particle Swarm Optimization-Optimized Variational Mode Decomposition,” Applied Sciences, vol. 14, no. 24, p. 11719, 2024, doi: 10.3390/app142411719.

11. R. Zhou, J. Han, Z. Guo, and T. Li, “De-Noising of Magnetotelluric Signals by Discrete Wavelet Transform and SVD Decomposition,” Remote Sensing, vol. 13, no. 23, p. 4932, 2021, doi: 10.3390/rs13234932.

12. J. Falk, M. Mendler, and B. Drossel, “A Minimal Model of Burst-noise Induced Bistability,” PLOS ONE, vol. 12, no. 4, pp. 1–15, 2017, doi: 10.1371/journal.pone.0176410.

13. L. Chen, J. Fernandez-de-Castro, J. Giusti, H. Fang, and M. Hurben, “Telegraph Noise Mechanism and LLG Noise Model,” IEEE Transactions on Magnetics, vol. 36, no. 5, pp. 3195–3198, 2000, doi: 10.1109/20.908735.

14. A. Aharony, O. Entin-Wohlman, D. Chowdhury, and S. Dattagupta, “Is Telegraph Noise a Good Model for the Environment of Mesoscopic Systems?,” Journal of Statistical Physics, vol. 175, no. 3, pp. 704–724, 2018, doi: 10.1007/s10955-018-2215-6.

15. D. S. Kosov, “Telegraph Noise in Markovian Master Equation for Electron Transport Through Molecular Junctions,” The Journal of Chemical Physics, vol. 148, no. 18, p. 184108, 2018, doi: 10.1063/1.5033354.

16. A. Varanasi, R. Degraeve, P. Roussel, and C. Merckling, “RTNinja: A Generalized Machine Learning Framework for Analyzing Random Telegraph Noise Signals in Nanoelectronic Devices,” APL Machine Learning, vol. 3, no. 4, p. 046109, 2025, doi: 10.1063/5.0295457.

17. L. Dan, W. Xue, W. Guiqin, and Q. Zhihong, “A Methodological Approach for Detecting Burst Noise in the Time Domain,” International Journal of Electronics and Communication Engineering, vol. 3, no. 10, pp. 1883–1887, 2009.

18. O. Gauthier, “Characterization and Modeling of Low-frequency Noise and Random Telegraph Noise in Advanced CMOS Imaging Technologies,” phdthesis, Universit'e Grenoble Alpes, 2024. Available: https://theses.hal.science/tel-05008737

19. S. M. Iacus and N. Yoshida, “Estimation for the Discretely Observed Telegraph Process,” Theory of Probability and Mathematical Statistics, vol. 78, pp. 37–47, 2009, doi: 10.1090/S0094-9000-09-00760-1.

20. I. S. Gonorovskiy, Radiotehnicheskie cepi i signaly, 4th ed. Radio i svyaz', 1986.

21. H. S. Carslaw, Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals, 2nd ed. Macmillan and co., 1921.

22. V. I. Klyatskin, Lectures on Dynamics of Stochastic Systems, 1st ed. Elsevier Inc., 2011.

23. V. Balakrishnan, Mathematical Physics: Applications and Problems, 1st ed. Springer Cham, 2020. doi: 10.1007/978-3-030-39680-0.

24. A. N. Shiryaev, Veroyatnost', 3rd ed., vol. 2. MCNMO, 2004.

25. C. P. Robert and G. Casella, Monte Carlo Statistical Methods, 2nd ed. Springer New York, 2004. doi: 10.1007/978-1-4757-4145-2.

26. P. Congdon, Applied Bayesian Modeling. John Wiley & Sons, 2003. doi: 10.1002/0470867159.

27. S. Chib, “Calculating Posterior Distributions and Modal Estimates in Markov Mixture Models,” Journal of Econometrics, vol. 75, no. 1, pp. 79–97, 1996, doi: 10.1016/0304-4076(95)01770-4.

28. F. M. Puglisi and P. Pavan, “Factorial Hidden Markov Model Analysis of Random Telegraph Noise in Resistive Random Access Memories,” ECTI Transactions on Electrical Engineering, Electronics, and Communications, vol. 12, no. 1, pp. 24–29, 2014, doi: 10.37936/ecti-eec.2014121.170814.