Одномодовые и двухмодовые неоднородные диссипативные структуры в нелокальной модели эрозии

Рассмотрена периодическая краевая задача для одного нелинейного уравнения с отклоняющимся пространственным аргументом в случае, когда отклонение мало. Данное уравнение называют пространственно нелокальным уравнением эрозии. Оно описывает формирование волнообразного рельефа под воздействием ионной бомбардировки и может быть проинтерпретировано как развитие известной модели Бредли–Харпера. В работе показано, что неоднородный рельеф может появиться при смене устойчивости однородными состояниями равновесия. В данной краевой задаче потеря устойчивости может происходить на высоких модах. Номер такой моды зависит от многих факторов. Например, от угла падения потока. В работе также показано, что данная нелинейная краевая задача может быть включена в класс абстрактных параболических уравнений, разрешимость задачи для которых была изучена в работах П.Е. Соболевского и предполагает использование аналитической теории полугрупп линейных ограниченных операторов. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), таких как: метод интегральных многообразий, нормальных форм Пуанкаре–Дюлака, а также асимптотические методы анализа. При этом разобраны обе задачи, возможные в данной ситуации: коразмерности один и коразмерности два. В частности, были получены асимптотические формулы для решений, которые описывают неоднородный волнообразный рельеф. Изучен вопрос об устойчивости данных решений. Приведен некоторый анализ нормальной формы. Приведены также асимптотические формулы для неоднородных волнообразных решений. В заключении статьи указаны некоторые возможные интерпретации результатов, которые получены в результате анализа данной краевой задачи.

1. Рудый А.С., Бачурин В.И., “Пространственно нелокальная модель эрозии поверхности ионной бомбардировкой”, Известия РАН, серия физическая, 72:5 (2008), 624–629; English transl.: Rudyi A. S., Bachurin V. I., “Spatially nonlocal model of surface erosion by ion bombardment”, Bulletin of the Russian Academy of Sciences, Physics, 72:5 (2008), 586–591.

2. Рудый А.C., Куликов А.Н., Метлицкая А.В., “Моделирование процессов формирования наноструктур при распылении ионной бомбардировкой”, Микроэлектроника, 40:2 (2011), 109–118; English transl.: Rudyi A. S., Kulikov A. N., Metlitskaya A. V., “Simulation of formation of nanostructures during sputtering of the surface by ion bombardment”, Russian Microelectronics, 40:2 (2011), 98–107.

3. Рудый А.С., Куликов А.Н., Куликов Д.А., Метлицкая А.В., “Высокомодовые рельефы в рамках пространственно-нелокальной модели эрозии”, Микроэлектроника, 43:4 (2014), 282–288; English transl.: Rudyi A. S., Kulikov A. N., Kulikov D. A., Metlitskaya A. V., “High-mode wave reliefs in a spatially nonlocal erosion model”, Russian Microelectronics, 43:4 (2014), 277–283.

4. Sigmund P., “A mechanism of surface micro-roughening by ion bombardment”, J. Mater. Sci, 8 (1973), 1545–1553.

5. Bradley R. M., Harper J. M. E., “Theory of ripple topography induced by ion bombardment”, J. Vac. Sci. Technol. A, 6 (1988), 2390–2395.

6. Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Стриханов М.Н., “Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ядерная физика и инжиниринг, 1:2 (2010), 151–158; [Kudriashov N.A., Ryabov P.N., StrichanovM. N., “Chislennoe modelirovanie formirovania nanostructur na poverchnosti ploskich podlozhek pri ionnoy bombardirovke”, Yadernaya fizika i inginiring, 1:2 (2010), 151–158, (in Russian).]

7. Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 52:5 (2012), 930–945; English transl.: Kulikov A. N, Kulikov D. A, “Formation of wavy nanostructures on the surface of flat substrates by ion bombardment”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 52:5 (2012), 800–814.

8. Крейн C.Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва, 1967; [Krein S. G., Lineinye differentsialnye uravnenia v banakhovom prostranstve, Nauka, Moscow, 1967, (in Russian).]

9. Соболевский П.Е., “Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве”, Труды Московского математического общества, 10 (1961), 297–350; [Sobolevskiy P. E., “Ob uravneniach parabolicheskogo tipa v banachovom prostranstve”, Trudy Mosk. matem. ob-va, 10 (1961), 297–350, (in Russian).]

10. Куликов А.Н., “О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, 1976, 114–129; [Kulikov A. N., “O gladkikh invariantnykh mnogoobraziyach nelineynich operatorov v banachovom prostranstve”, Issledovanie po ustoychivosti i teorii kolebaniy, 1976, 114–129, (in Russian).]

11. Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркации рождения цикла и ее приложения, Мир, Москва, 1980; English transl.: Marsden J. E., McCraken M., The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976.

12. Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений, Ярославль, 2003; [Kolesov A. Yu., Kulikov A.N., Invariantnye tori nelineynich evolutsionnych uravneniy, Yaroslavl, 2003, (in Russian).]

13. Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений, Физматлит, Москва, 2004; [Kolesov A. Yu., Rozov N. Ch., Invariantnye tori nelineynich volnovych uravneniy, Fizmatlit, Moscow, 2004, (in Russian).]

14. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Локальные методы анализа динамических систем, Ярославль, 2006; [Glyzin S.D. Kolesov A.Yu., Lokalniye metody analiza dinamicheskich sistem, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]

15. Мищенко Е.Ф. и др., Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией, Физматлит, Москва, 2005; [Mischenko E.F. et al., Avtovolnovye protsessy v nelineynich sredach c diffuziey, Fizmatlit, Moscow, 2005, (in Russian).]

16. Куликов А.Н., Куликов Д.А., “Локальные бифуркации плоских бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредингера”, Дифференциальные уравнения, 40:9 (2010), 1290–1299; English transl.: Kulikov A. N, Kulikov D. A, “Local bifurcations of plane running waves for the generalized cubic Schrodinger eqiation”, Differential quations, 40:9 (2010), 1299–1308.

17. Куликов А.Н., Куликов Д.А., Рудый А.C., “Бифуркации наноструктур под воздействием ионной бомбардировки”, Вестник Удмуртского университета, 4 (2011), 86–99; [Kulikov A. N., Kulikov D. A., Rudyi A. S., “Bifurcation of the nanostructures induced by ion bombardment”, Vestnik Udmurtskogo universiteta, 4 (2011), 86–99, (in Russian).]

18. Кащенко С.А., “Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных оптических системах”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 31:3 (1991), 467–473; [Kashenko S.A., “Asimptotica prostranstvenno-neodnorodnych structur v kogerentnych opticheskich sistemach”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 31:3 (1991), 467–473, (in Russian).]

19. Белан Е.П., “Вращающиеся волны в параболической задаче с преобразованным аргументом”, Динамические системы, 156 (2000), 160–167; [Belan E. P., “Vrachayuchiesya

20. volny v parabolicheskoy zadache s preobrazovannym argumentom”, Dinamicheskie sistemy, 156 (2000), 160–167, (in Russian).]

21. Разгулин С.А., “Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 33:1 (1993), 68–80; [Razgulin S. A., “Ob avtokolebaniyach v nelineynich parabolicheskoy zadache s preobrazovannym argumentom”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 33:1 (1993), 68–80, (in Russian).]

22. Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Быстро осциллирующие пространственно-неоднородные структуры в когерентных нелинейно-оптических системах”, Доклады Академии Наук, 435:1 (2010), 14–17; English transl.: Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Rapidly oscillating spatially inhomogeneous structures in coherent nonlinear optical systems”, Doklady Mathematics, 82:3 (2010), 850–853.