Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-5-682-710

Полный текст:


Аннотация

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка с малым множителем при старшей производной. Исследуется вопрос об асимптотике всех собственных значений первой краевой задачи (задачи Дирихле) при стремлении этого множителя к нулю. Показано, что определяющую роль играет поведение коэффициентов уравнения лишь в малых окрестностях точек поворота, то есть таких точек, в которых обращается в нуль коэффициент при первой производной. В качестве основного результата служит теорема о предельных значениях всех собственных чисел первой краевой задачи.


Об авторе

С. А. Кащенко
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия Национальный исследовательский ядерный университет МИФИИ, Каширское ш., 31, 115409, г. Москва, Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор


Список литературы

1. Тихонов А.Н., “Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных”, Мат. сборник, 31:3 (1952), 575–586; [Tikhonov A. N., “Sistemy differentsial’nykh uravneniy, soderzhashchikh malye parametry pri proizvodnykh”, Mat. sbornik, 31:3 (1952), 575–586, (in Russian).]

2. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В., “Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Сер. Математика. Мат. анал., ВИНИТИ, М., 1969, 5–73; English transl.: Butuzov V. F., Vasil’eva A. B., Fedoryuk M. V., “Asymptotic Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations”, 8, 1970, 1–82.

3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., “Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений”, 1973; [Vasil’eva A.B., Butuzov V. F., “Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy”, 1973, (in Russian).]

4. Дородницын А.А., “Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля”, ПММ, 11 (1947), 313–328; [Dorodnitsyn A. A., “Asimptoticheskoe reshenie uravneniya Van-der-Polya”, PMM, 11 (1947), 313–328, (in Russian).]

5. Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С., “Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным”, ДАН СССР, 102:5 (1955), 889–891; [Mishchenko E. F., Pontryagin L. S., “Periodicheskie resheniya sistem differentsial’nykh uravneniy, blizkie k razryvnym”, DAN SSSR, 102:5 (1955), 889–891, (in Russian).]

6. Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, Мир, М., 1970; English transl.: Cole J., Perturbation methods in applied mathematics, Blaisdell Publishing Company, London, 1968.

7. Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5 (1957), 3–122; [Vishik M. I., Lyusternik L. A., “Regulyarnoe vyrozhdenie i pogranichnyy sloy dlya lineynykh differentsial’nykh uravneniy s malym parametrom”, UMN, 12:5 (1957), 3–122, (in Russian).]

8. Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I”, УМН, 15:3 (1960), 3–80; English transl.: Vishik M. I., Lusternik L. A., “The solution of some perturbation problems for matrices and selfadjoint or non-selfadjoint differential equations. I”, Russian Mathematical Surveys, 15:3 (1960), 1–73.

9. Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф., “О неосцилляции решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка”, ДАН СССР, 199:6 (1971), 1240–1242; [Kolesov Yu. S., Chaplygin V. F., “O neostsillyatsii resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka”, DAN SSSR, 199:6 (1971), 1240–1242, (in Russian).]

10. Кащенко С.А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39; [Kashchenko S.A., “Predel’nye znacheniya sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. un-ta, 10, 1974, 3–39, (in Russian).]

11. Коддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958; English transl.: Coddington E., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Company, London, 1955.

12. Якубович В.А., Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972; [Yakubovich V.A., Starzhinskiy V.M., Lineynye differentsial’nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami, Nauka, M., 1972,

13. (in Russian).]

14. Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]

15. Камке Е., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Наука, М., 1965; [Kamke E., Spravochnik po obyknovennym differentsialnym uravneniyam, Nauka, M., 1965, (in Russian).]

16. Ch. J. de la Vallie-Poussin, “Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordre n”, J. Math. Pure et Appl., 8:1 (1929), 125–144


Дополнительные файлы

Для цитирования: Кащенко С.А. Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота. Моделирование и анализ информационных систем. 2015;22(5):682-710. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-5-682-710

For citation: Kaschenko S.A. Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(5):682-710. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-5-682-710

Просмотров: 405

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)