Анализ локальных бифуркаций для уравнения с запаздыванием, зависящим от искомой функции

В работе рассматривается уравнение первого порядка с запаздыванием, зависящим от искомой
функции, с нелинейной правой частью. Для этого уравнения предполагаются выполненными усло-
вия существования и единственности решения начальной задачи. Ставится задача исследования
поведения решений рассматриваемого уравнения в малой окрестности его нулевого положения рав-
новесия. Изучение локальной динамики проводится в зависимости от вещественных параметров 첐
коэффициентов тейлоровского разложения правой части. Параметр, являющийся коэффициентом
при линейном члене, имеет два критических значения, определяющих область устойчивости ну-
левого положения равновесия. Чтобы исследовать изменение локальной динамики уравнения при
переходе данного параметра через критические значения, вводится малый параметр и применяет-
ся асимптотический метод нормальных форм. Показывается, что для первого случая в уравнении
имеет место бифуркация обмена устойчивостью, а для второго случая 움 суперкритическая бифур-
кация Андронова – Хопфа (при выполнении достаточного условия). Для каждого из устойчивых
режимов получены их асимптотические разложения по соответствующим малым параметрам. За-
тем в качестве примера рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием, зависящим
от искомой функции. Для этого уравнения бифуркационный параметр имеет единственное кри-
тическое значение. С помощью метода нормальных форм устанавливается простое достаточное
условие возникновения суперкритической бифуркации Андронова – Хопфа в уравнении при пере-
ходе параметра через критическое значение.

1. Валентайн Р.С., “Экономичность, устойчивость и работоспособность ЖРД”, Вопросы ракетной техники, 1:217 (1973); [Valentayn R. S., “Ekonomichnost, ustoychivost i rabotosposobnost ZhRD”, Voprosy raketnoy tekhniki, 1:217 (1973), (in Russian).]

2. Sabersky R. H., “Effect of wave propagation in feed lines on low frequency rocket instability”, Jet Propulsion, 24:172 (1964).

3. Crocco L., Harrje D. T., Reardon F. H., “Transverse combustio instability in liquid propellant rocket motors”, ARS Journal, 32:3 (1962).

4. Reardon F. H., Crocco L., Harrje D. T., “Velocity effects in transverse mode liquid propellant rocket combustion instability”, AIAA Journal, 2:9 (1964).

5. Колесов Ю.С., Швитра Д.И., “Математическое моделирование процесса горения в камере жидкостного ракетного двигателя”, Литовский математический сборник, 15:4 (1975); [Kolesov Yu. S., Shvitra D. I., “Matematicheskoe modelirovanie protsessa goreniya v kamere zhidkostnogo raketnogo dvigatelya”, Litovskiy matematicheskiy sbornik, 15:4 (1975), (in Russian).]

6. Zager M. G., Schlosser P. M., Tran H. T., “A delayed nonlinear PBPK model for genistein dosimetry in rats”, Bulletin of Mathematical Biology, 69 (2007), 93–117.

7. Hu Q., Wu J., “Global Hopf bifurcation for differential equations with state-dependent delay”, Journal of Differential Equations, 248:12 (2010), 2801–2840.

8. Brokate M., Colonius F., “Linearizing equations with state-dependent delays”, Appl. Math. Optim., 21 (1990), 45–52.

9. Cooke K. L., Huang W. Z., “On the problem of linearization for state-dependent delay differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 124:5 (1996), 1417–1426.

10. Hartung F., Turi J., “On differentiability of solutions with respect to parameters in state-dependent delay equations”, J. Differential Equations, 135 (1997), 192–237.

11. Driver R. D., “Existence theory for a delay-differential system”, Contrib. Different. Equat., 1:3 (1963).

12. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, Наука, М., 1971; English transl.: Elsgolts L. E., Norkin S. B., Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, 1973.

13. Halanay A., Yorke J., “Some new results and problems in the theory of differential-delay equations”, SIAM Rev., 13:1 (1971).

14. Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием, зависящим от искомой функции”, Доклады академии наук, 464:5 (2015), 521–524; English transl.: Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Local Dynamics of an Equation with a Large State Dependent Delay”, Doklady Mathematics, 92:2 (2015), 1–4.

15. Кащенко С.А., “Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона”, Моделирование и анализ информационных систем, 19:3 (2012), 32; English transl.: Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 470–494.

16. Кащенко Д.С., Кащенко И.С., Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием: учебное пособие, Ярославль, 2006; [Kashchenko D. S., Kashchenko I. S., Dinamika uravneniy pervogo poryadka s zapazdyvaniem: uchebnoe posobie, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]

17. Брюно А.Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, Наука, М., 1979; English transl.: Bryuno A. D., Local Methods in Nonlinear Differential Equations, Springer, 1989.

18. Marsden Dzh., Mak-Kraken M., Bifurkatsiya rozhdeniya tsikla i ee prilozheniya, Mir, M., 1980.

19. Hartman P., Ordinary Differential Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.

20. Yang Kuang, Delay Differential Equations, With Applications in Population Dynamics, Academic Press, 1993.