Asymptotic Expansions of Eigenvalues of the First Boundary Problem for Singularly Perturbed Second Order Differential Equation with Turning Points
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-1-41-60
Abstract
For singularly perturbed second order equations the dependence of eigenvalues of the first boundary problem on a small parameter at the highest derivative is studied. The main assumption is that the coefficient at the first derivative in the equation is the sign of the variable. This leads to the emerging of so-called turning points. Asymptotic expansions on the small parameter are obtained for all eigenvalues of the considered boundary problem. It turns out that the expansions are defined by the behavior of coefficients in a neighborhood of turning points only
About the Author
S. A. Kashchenko
P.G. Demidov Yaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
Russian Federation
doctor of science, professor
Russian Federation
doctor of science, professor
References
1. Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]
2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973; [Vasil’eva A.B., Butuzov V. F., Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy, Nauka, M., 1973, (in Russian).]
3. Дородницын А.А., “Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля”, ПММ, 11 (1947), 313–328; [Dorodnitsyn A. A., “Asimptoticheskoe reshenie uravneniya Van-der- Polya”, PMM, 11 (1947), 313–328, (in Russian).]
4. Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, Мир, М., 1970; English transl.: Cole J., Perturbation methods in applied mathematics, Blaisdell Publishing Company, London, 1968.
5. Вишик М.И., Люстерник Л.А., “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5 (1957), 3–122; [Vishik M. I., Lyusternik L. A., “Regulyarnoe vyrozhdenie i pogranichnyy sloy dlya lineynykh differentsialnykh uravneniy s malym parametrom”, UMN, 12:5 (1957), 3–122, (in Russian).]
6. Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф., “О неосцилляции решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка”, ДАН СССР, 199:6 (1971), 1240–1242; [Kolesov Yu. S., Chaplygin V. F., “O neostsillyatsii resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka”, DAN SSSR, 199:6 (1971), 1240–1242, (in Russian).]
7. Ch. J. de la Vallie-Poussin, “Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordren”, J. Math. Pure et Appl., 8:1 (1929), 125–144.
8. Кащенко С.А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39; [Kashchenko S.A., “Predelnye znacheniya sobstvennykh chisel pervoy kraevoy zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vest. Yarosl. un-ta,
9. , 1974, 3–39, (in Russian).]
10. Кащенко С.А., “Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Вестник Ярославского университета, 13, Ярославль, 1975, 20–83; [Kashchenko S. A., “Asimptotika sobstvennykh znacheniy periodicheskoy i neperiodicheskoy krayevykh zadach dlya singulyarno vozmushchennykh differentsialnykh uravneniy vtorogo poryadka s tochkami povorota”, Vestnik Yaroslavskogo universiteta, 13, Yaroslavl, 1975, 20–83, (in Russian).]
11. Кащенко C.А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 682–710; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 22:5 (2015), 682–710, (in Russian).]
Review
For citations:
Kashchenko S.A. Asymptotic Expansions of Eigenvalues of the First Boundary Problem for Singularly Perturbed Second Order Differential Equation with Turning Points. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(1):41-60. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-1-41-60
Views:
1085
Email this article 