Взаимодействие двух волн в модели Ферми – Паста – Улама

Работа посвящена исследованию динамических свойств решений краевых задач, связанных с классической системой Ферми – Паста – Улама (ФПУ). При исследовании локальной динамики этих задач может реализовываться критический случай бесконечной размерности. В этих условиях построено специальное нелинейное уравнение с частными производными, которое играет роль квазинормальной формы, т.е. определяет в главном поведение всех решений исходной краевой задачи с начальными условиями из достаточно малой окрестности состояния равновесия. В зависимости от значений параметров в качестве квазинормальных форм выступают модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (КДВ) и уравнение Кортевега – де Вриза – Бюргерса (КДВБ). При некоторых дополнительных предположениях к полученным краевым задачам применена процедура повторной нормализации, приводящая к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описан способ сворачивания этой системы в краевую задачу – аналог нормальной формы. Построенные квазинормальные формы позволяют судить о динамике задачи ФПУ. Основной результат работы состоит в том, что аналитическими методами нелинейной динамики изучен вопрос о взаимодействии волн, движущихся в разных направлениях, в задаче ФПУ. При рассмотрении так называемых регулярных решений описано влияние волн друг на друга, которое задается специальным интегральным соотношением. Показано, что это влияние является асимптотически малым и не меняет форму волн, внося вклад только в их скоростной сдвиг, который не меняется по времени.

модель Ферми – Паста – Улама, обобщенное уравнение Кортевега–де Вриза, квазинормальная форма, краевая задача

1. Russel Scott J., “Report of waves”, Report of the 14-th. Meeting of the British Association for the Advancement of Science, London, 1844, 311–390.

2. Fermi E., Pasta J. R., Ulam S., Studies of Nonlinear Problems, Report LA-1940, Alamos Scientific Laboratory, 1955.

3. Porter M. A., Zabusky N. J., Hu B., Campbell D. K., “Fermi, Pasta, Ulam and the Birth of Experimental Mathematics”, American Scientist, 97:3 (2009), 214–221.

4. Dauxois T., Peyrard M., Ruffo S., “The Fermi–Pasta–Ulam “numerical experiment”: history and pedagogical perspectives”, arXiv: nlin/0501053v2, 22 Mar 2005.

5. Genta T., Giorgilli A., Paleari S., Penati T., “Packets of resonant modes in the FermiPasta-Ulam system”, Physics Letters A, 376 (2012), 2038–2044.

6. Кудряшов Н. А., “Модель Ферми–Паста–Улама и нелинейные эволюционные уравнения”, Вестник национального исследовательского ядерного университета МИФИ, 5:1 (2016), 3–22.

7. Кудряшов Н. А., Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004, 360 с.

8. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M., Phys. Rev. Lett., 19 (1967), 1095–1097.

9. Ablowitz M. J., Clarkson P. A., Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge university press, 1991.

10. Kudryashov N. A., “Refinement of the Korteweg – de Vries equation from the Fermi–Pasta–Ulam model”, Phys. Lett. A, 279 (2015), 2610–2614.

11. Kudryashov N. A., “From the Fermi–Pasta–Ulam model”, Reports on mathematical Physics, 2015, in Press.

12. Polyanin A. D., Zaitsev V. F., Handbook of nonlinear partial differential equations, Second Edition, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2011, 520 pp.

13. Волков А. К., Кудряшов Н. А., “Нелинейные волны, описываемые уравнением пятого порядка, полученным из системы Ферми–Паста–Улама”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:4 (2016), 685–693.

14. Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Sinelshchikov D. I., “Nonlinear waves in media with fifth order dispersion”, Phys. Lett. A, 375 (2011), 2051–2055.

15. Кащенко С. А., “Нормальная форма для уравнения Кортеверга – де Вриза – Бюргерса”, ДАН, 468:4 (2016), 383.

16. Кащенко С.А., “О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией”, ДАН СССР, 299:5 (1988), 1049–1053.

17. Kaschenko S.A., “Normalization in the systems with small diffusion”, Int. J. of Bifurcations and chaos, 6:7 (1996), 1093–1109.

18. Кащенко И.С., Кащенко С.А., “Квазинормальные формы двухкомпонентных сингулярно возмущенных систем”, ДАН, 447:4 (2012), 376–381.

19. Кащенко И.С., “Мультистабильность в нелинейных параболических системах с малой диффузией”, ДАН, 435:2 (2010), 164–167.

20. Ablowitz M. J. and Segur H., Solitons and the Inverse Scattering Transform, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1981, 425 pp.

21. Dodd R. K., Eilbeck J. C., Gibbon J. D., Morris H. C., Solitons and Nonlinear Wave Equations., Academic Press, London et al., 1982, 630 pp.

22. Newell A. C., Solitons in Mathematics and Physics, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1985, 260 pp.

23. Zabusky N. J., Kruskal M. D., “Interaction of “solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states”, Phys Rev. Lett., 15 (1965), 240–243.

24. Кудряшов Н. А., Методы нелинейной математической физики, Издательский дом “Интеллект”, Долгопрудный, 2010, 360 с..

25. Korteweg D. J., de Vries G., “On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new tipe of long stationary waves”, Phil. Mag., 39 (1895), 422–443.

26. Burgers J.M., “A mathematical model illustrating the theory of turbulence”, Adv. Appl. Mech., 1 (1948), 171–199.

27. Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Введение в теорию колебаний и волн, РХД, Ижевск, 2000, 560 с.

28. Kudryashov N. A., “On ”new travelling wave solutions” of the KdV and the KdV-Burgers equations”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14(5) (2009), 1891–1900.

29. Kudryashov N. A., “Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 52:3 (1988), 361–365.

30. Kudryashov N. A., “One method for finding exact solutions of nonlinear differential equations”, Communications in Nonlinear Science and Numerical, 17 (2012), 2248–2253.

31. Kudryashov N. A., “Painleve analysis and exact solutions of the Korteweg – de Vries equation with a source”, Appl. Math. Lett., 41 (2015), 41–45.

32. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Избранные вопросы математической физики и анализа, Тр. МИАН, 285, МАИК, М., 2014, 89–106.

33. Глызин С. Д., Колесов А.Ю, Розов Н. Х., “Явление буферности в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, ТМФ, 181:2 (2014), 254–275.