Об n-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям S ⊂ [0, 1] n ⊂ nS


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-578-595

Полный текст:


Аннотация

Пусть \(n\in{\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n.\) Для невырожденного симплекса \(S\subset {\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра  тяжести \(S\) с коэффициентом \(\sigma.\) Под \(d_i(S)\)  понимается \(i\)-й осевой диаметр \(S\), т.е. максимальная длина отрезка из \(S\), параллельного \(i\)-й координатной оси. Пусть \(\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\},\) \(\xi_n=\min \{ \xi(S): \, S\subset Q_n \}.\) Через \(\alpha(S)\) обозначим минимальное \(\sigma>0,\) для которого \(Q_n\) принадлежит трансляту симплекса \(\sigma S\). Рассмотрим квадратную матрицу \({\bf A}\) порядка \(n+1\), строки которой содержат координаты вершин \(S\), а последний столбец  состоит из 1. Пусть \({\bf A}^{-1}\) \(=(l_{ij})\). Через \(\lambda_j\) обозначим линейную функцию на \({\mathbb R}^n\), коэффициенты которой составляют \(j\)-й столбец \({\bf A}^{-1}\), т.е. \(\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j}.\) Ранее первым автором были доказаны равенства \( \frac{1}{d_i(S)}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n+1} \left|l_{ij}\right|, \ \alpha(S) =\sum_{i=1}^n\frac{1}{d_i(S)}.\) В статье рассматривается случай \(S\subset Q_n\). Тогда все \(d_i(S)\leq 1\), поэтому \(n\leq \alpha(S)\leq \xi(S).\) Если же для некоторого симплекса \(S^\prime\subset Q_n\) выполняется \(\xi(S^\prime)=n,\) то  \(\xi_n=n\),  \(\xi(S^\prime)=\alpha(S^\prime)\) и \(d_i(S^\prime)=1\). Однако указанные \(S^\prime\) существуют не для всех размерностей. Первое такое значение \(n\) равно 2.
Для любого двумерного симплекса \(\xi(S)\geq \xi_2=1+\frac{3\sqrt{5}}{5}=2.34 \ldots>2\). Справедлива двусторонняя оценка \(n\leq \xi_n<n+1\). Равенство \(\xi_n=n\) имеет место, если существует матрица Адамара порядка \(n+1\). Дальнейшие исследования показали, что \(\xi_n=n\) и для ряда других размерностей \(n\). В частности, симплексы с условием \(S\subset Q_n\subset nS\) были найдены для всех нечётных \(n\) в промежутке \(1\leq n\leq 11\). В первой части настоящей статьи приводятся новые результаты о симплексах, удовлетворяющих указанным включениям. Доказывается, что если \(S\subset Q_n\subset nS\), то центр тяжести \(S\) совпадает с центром \(Q_n\). Устанавливаются равенства \(\sum_{j=1}^{n+1} |l_{ij}|=2 \quad (1\leq i\leq n),  \sum_{i=1}^{n} |l_{ij}|=\frac{2n}{n+1} \quad (1\leq j\leq n+1)\). Приводится ряд следствий. Во второй части статьи обсуждается  следующая гипотеза. Пусть для симплекса \(S\subset Q_n\) выполняется равенство \(\xi(S)=\xi_n\). Тогда \((n-1)\)-мерные гиперплоскости, содержащие грани \(S\), отсекают от куба \(Q_n\) равные по объёму части. Хотя это справедливо для \(n=2\) и \(n=3\), в общем случае эта гипотеза не верна.


Об авторах

Михаил Викторович Невский
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
доктор физ.-мат. наук, доцент


Алексей Юрьевич Ухалов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
кандидат физ.-мат. наук


Список литературы

1. Климов В. С., Ухалов А.Ю., Решение задач математического анализа с использованием систем компьютерной математики, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, 2014, 96 с

2. Малышев Ф. M., “Семейство равновеликих n-мерных многогранников, удовлетворяющих принципу Кавальери”, Матем. заметки, 97:2 (2015), 231–248

3. Невский М. В., “Неравенства для норм интерполяционных проекторов”, Модел. и анализ информ. систем, 15:3 (2008), 28–37

4. Невский М. В., “Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора”, Модел. и анализ информ. систем, 16:1 (2009), 24–43

5. Невский М. В., “Об одном свойстве n-мерного симплекса”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 580–593

6. Невский М. В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, 2012

7. Невский М. В., “Вычисление максимального в симплексе отрезка данного направления”, Фундамент. и прикл. матем., 18:2 (2013), 147–152

8. Невский М. В., Ухалов А.Ю., “О числовых характеристиках симплекса и их оценках”, Модел. и анализ информ. систем, 23:5 (2016), 602–618

9. Невский М. В., Ухалов А.Ю., “Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом”, Модел. и анализ информ. систем, 24:1 (2017), 94–110

10. Холл M., Комбинаторика, Мир, Москва, 1970

11. Frank R., Riede H., “Hyperplane sections of the n-dimensional cube”, Amer. Math. Monthly, 119:10 (2012), 868–872.

12. Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241 –243 (1996), 519 – 598.

13. Lassak M., “Parallelotopes of maximum volume in a simplex”, Discrete Comput. Geom., 21 (1999), 449–462.

14. Mangano S., Mathematica cookbook, O’Reilly Media Inc., Cambridge, 2010.

15. Nevskii M., “Properties of axial diameters of a simplex”, Discrete Comput. Geom., 46:2 (2011), 301–312.

16. Scott P. R., “Lattices and convex sets in space”, Quart. J. Math. Oxford (2), 36 (1985), 359–362.

17. Scott P. R., “Properties of axial diameters”, Bull. Austral. Math. Soc., 39 (1989), 329–333.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Невский М.В., Ухалов А.Ю. Об n-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям S ⊂ [0, 1] n ⊂ nS. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(5):578-595. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-578-595

For citation: Nevskii M.V., Ukhalov A.Y. On n-Dimensional Simplices Satisfying Inclusions S ⊂ [0, 1]n ⊂ nS. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(5):578-595. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-578-595

Просмотров: 199

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)