Асимптотическое интегрирование некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

В работе исследуется задача построения асимптотических представлений для слабых решений некоторого класса линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве при стремлении независимой переменной к бесконечности. Исследуется класс уравнений, являющихся возмущением линейного автономного уравнения, вообще говоря, с неограниченным оператором. В качестве возмущения выступает семейство ограниченных операторов, которое в определенном смысле убывает колебательным образом на бесконечности. Относительно невозмущенного уравнения предполагаются выполненными стандартные требования теории центральных многообразий. Суть предложенного метода асимптотического интегрирования состоит в доказательстве существования у исходного уравнения многообразия типа центрального (критического многообразия). Это многообразие является положительно инвариантным для исходного уравнения и притягивает все траектории слабых решений. Динамика исходного уравнения на критическом многообразии описывается конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Асимптотика фундаментальной матрицы этой системы может быть построена с помощью разработанного автором метода асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами. В качестве примера использования предложенной техники в работе строятся асимптотические представления для решений возмущенного уравнения теплопроводности.

1. Иосида К., Функциональный анализ, Мир, М., 1967

2. Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958

3. Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, М., 1980; пер. с англ.: Marsden J. E., McCracken M., The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York, 1976.

4. Нестеров П. Н., “Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами”, Дифференц. уравнения, 43:6 (2007), 731–742;

5. Нестеров П. Н., “Метод центральных многообразий в задаче асимптотического интегрирования функционально-дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. II”, Модел. и анализ информ. систем, 21:5 (2014), 5–37;

6. Фомин В. Н., Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах, Изд-во ЛГУ, Л., 1972;

7. Хейл Дж., Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984;

8. Balakrishnan A. V., Applied functional analysis, Springer-Verlag, New York, 1981.

9. Ball J. M., “Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula”, Proc. Amer. Math. Soc., 63:2 (1977), 370–373.

10. Ball J. M., “On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations”, J. Differential Equations, 27 (1978), 224–265.

11. Carr J., Applications of centre manifold theory, Springer-Verlag, New York, 1981.

12. Eastham M. S. P., The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989.

13. Hale J., Verduyn Lunel S. M., Introduction to functional differential equations, SpringerVerlag, New York, 1993.

14. Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.

15. Langer M., Kozlov V., “Asymptotics of solutions of a perturbed heat equation”, J. Math. Anal. Appl., 397:2 (2013), 481–493.

16. Levinson N., “The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations”, Duke Math. J., 15:1 (1948), 111–126

17. Nesterov P., “Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients: a center manifold approach”, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2016, № 33, 1–43.

18. Pazy A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.

19. Rothe F., Global solutions of reaction-diffusion systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1984.

20. Wu J., Theory and applications of partial functional differential equations, Springer-Verlag, New York, 1996.