Существование и асимптотическая устойчивость периодического решения с внутренним переходным слоем в задаче со слабой линейной адвекцией

Исследована сингулярно возмущенная периодическая по времени задача для параболического уравнения реакция-адвекция-диффузия со слабой линейной адвекцией. Рассмотрен случай реактивного члена в виде кубической нелинейности. На основе уже известных результатов исследуется более общая постановка задачи, причем предоставляются более слабые достаточные условия для существования решения с внутренним переходным слоем, чем в предыдущих работах. Для удобства приводятся уже известные результаты, обеспечивающие выполнение теоремы существования контрастной структуры. Обоснование существования решения с внутренним переходным слоем базируется на использовании асимптотического метода дифференциальных неравенств, основанного на модификации членов построенного асимптотического разложения. Далее устанавливаются достаточные условия для выполнения указанных требований, причем они имеют простые и лаконичные формулировки в виде алгебраического уравнения w(x₀,t) = 0 и условия w_x(x₀,t) < 0, по существу являющегося условием того, что корень x₀(t) простой, и обеспечивающего устойчивость найденного решения. Функция w является функцией от известных функций, фигурирующих в реактивном и адвективном членах исходной задачи. Уравнение w(x₀,t) = 0 представляет собой задачу для нахождения нулевого приближения x₀(t) для определения области локализации внутреннего переходного слоя. Кроме того, исследована асимптотическая устойчивость по Ляпунову найденного периодического решения, основанная на применении метода так называемых сжимающихся барьеров. Основной результат работы сформулирован в виде теоремы.

1. Нефедов Н.Н., Давыдова М.А., “Периодические контрастные структуры в системах типа реакция-диффузия-адвекция”, Дифференциальные уравнения, 46:9 (2010), 1300– 1312;

2. Васильева А.Б., Давыдова М.А., “О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 38:6 (1998), 938– 947;

3. Васильева А.Б., “О периодических решениях параболической задачи с малым параметром при производных”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 43:7 (2003), 975–986;

4. Nefedov N.N., Nikulin E.I., “Existence and stability of periodic contrast structures in the reaction-advection-diffusion problem”, Russian Journal of Mathematical Physics, 22:2 (2015), 215–226.

5. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И., “Существование и устойчивость периодических контрастных структур в задаче реакция-адвекция-диффузия в случае сбалансированной нелинейности”, Дифференциальные уравнения, 53:4 (2017), 524–537;