О числе сосуществующих автоволновых решений цепочки диффузионно связанных осцилляторов нейронного типа

Рассматривается математическая модель нейронной ассоциации, представляющая собой цепочку диффузионно связанных осцилляторов. Каждый из осцилляторов, моделирующих отдельный нейрон, задан некоторым сингулярно возмущенным скалярным нелинейным дифференциально-разностным уравнением с двумя запаздываниями. Сингулярность осцилляторов позволяет перейти к предельной системе без малых параметров, но с импульсным внешним воздействием. Утверждение о соответствии между полученной системой с импульсным воздействием и исходной цепочкой осцилляторов дает возможность показать, что в этой цепочке при согласованном увеличении числа звеньев цепочки и уменьшении коэффициента диффузии происходит неограниченный рост количества ее сосуществующих устойчивых периодических движений (ре- ализуется феномен буферности). Выполнен численный эксперимент, позволяющий определить, как меняется число устойчивых режимов системы при изменении параметра связи.

1. Chay T.R., Rinzel J. Bursting, beating, and chaos in an excitable membrane model // Biophys. J. 1985. V. 47. № 3. P. 357 – 366.

2. Ermentrout G. B., Kopell N. Parabolic bursting in an excitable system coupled with a slow oscillation // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46. № 2. P. 233 – 253.

3. Izhikevich E. Neural excitability, spiking and bursting // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10. № 6. P. 1171 – 1266.

4. Rabinovich M.I., Varona P., Selverston A.I., Abarbanel H.D.I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. № 4. P. 1213 – 1265.

5. Coombes S., Bressloff P.C. Bursting: the genesis of rhythm in the nervous system. (World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005)

6. Колесов А.Ю., Розов Н. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М. : Физматлит, 2004. 408 с. [Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M. : Fizmatlit, 2004. 408 s. (in Russian).]

7. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 432 с. [Mishchenko E. F., Sadovnichii V. A., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Avtovolnovyye protsessy v nelineynykh sredakh s diffuziyey. M. : Fizmatlit, 2005. 432 s. (in Russian).]

8. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Феномен буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. [English transl.: Glyzin S., Kolesov A., Rozov N. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85, № 2. P. 297–300.]

9. Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. [Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. (in Russian).]

10. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500 – 544.

11. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719.]

12. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Математические заметки. 2013. Т. 93. № 5. С. 682–699. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. Vol. 93. No. 5. P. 676–690.]

13. Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. [English transl.: Glyzin S.D., Ovsyannikova E.O. Double Frequency Oscillations of an Impulse Neuron Equation with Two Delays // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, No. 7. P. 526–540.]

14. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Реле с запаздыванием и его C¹-аппроксимация // Тр. МИАН. Т. 216. М.: Наука, 1997. С. 126–153. [English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Relay with delay and its C¹-approximation // Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1997. V. 216. P. 119–146.]

15. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 12. С. 2099 – 2112. [English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. A modification of Hutchinson’s equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50, no. 12. P. 1990–2002.]

16. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 7. С. 919 – 932. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: I // Differential Equations. 2011. V. 47, № 7. P. 927–941.]

17. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием // Изв РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77. № 2. С. 53 – 96. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation Self-oscillations in Hopfield Networks with Delay // Izvestiya. Mathematics. 2013. V. 77, № 2. P. 271–312.]

18. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 12. С. 1675 – 1692. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: II // Differential Equations. 2011. V. 47, № 12. P. 1697–1713.]

19. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175.]