Разностные аппроксимации уравнения «реакция - диффузия» на отрезке
Аннотация
Для цепочки диффузионно слабо связанных колебательных систем на устойчивом интегральном многообразии построена и проанализирована система разностей фаз осцилляторов. В случае, когда число осцилляторов в цепочке растет, численными методами показано, что ляпуновская размерность аттрактора увеличивается по близкому к линейному закону. Произведен обширный численный эксперимент для разностной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, в котором проиллюстрирован этот результат и определены границы применимости асимптотических методов.
Ключевые слова
хаотический аттрактор,
автоколебания,
автогенераторы,
ляпуновская размерность,
бифуркация,
инвариантный тор
УДК: 517.9
Список литературы
1. Абарбанель Г.Д., Рабинович М. И., Селверстон А., Баженов М. В., Хуэрта Р., Сущик М. М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях // Усп. физ. наук. 1996. Т. 166, № 4. С. 363 - 390.
2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
3. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М. И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 12. С. 561 - 564.
4. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 7 - 44.
5. Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., Abarbanel H. D. I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. P. 1213 - 1265.
6. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.
7. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.
8. Кащенко С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухкомпонентных систем с малой диффузией // Диф. уравнения. 1989. Т.25, № 2. С. 262 - 270.
9. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 1. С. 41 - 49.
10. Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 1. С. 831 - 835.
11. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130 - 141.
12. Ruelle D., Takens F. On the nature of tubulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167 - 192.
13. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г. Г., Самарский А.А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1987. Т. 28. С. 207 - 313.
14. Глызин С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения "реакция - диффузия" // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805 - 811.
15. Глызин С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау - Колесова о природе турбулентности // Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс. 1989. Вып. 3. С. 31 - 36.
16. Аронсон И. С, Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ. 1985. Т. 89, № 1. С. 92 - 105.
17. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. П., Старобинец И. М. О рождении многомерного хаоса в активных решетках // ДАН СССР. 1984. Т. 279, № 3. С. 596 -602.
18. Колесов Ю. С, Майоров В. В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1986. С. 3 - 13.
19. Колесов Ю. С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 3 - 40.
20. Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. матем. журн. 1987. Т. 39, № 1. С. 28 - 34.
21. Митрополъский Ю.А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.
22. Глызин Д. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008611464. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer". Заявка № 2008610548 от 14.02.2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008 г.
23. Рабинович М. П., Сущик М. М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // Усп. физ. наук. 1990. T. 160, вып. 1. С. 3 - 64.
24. Ахромеева Т. С, Курдюмов СП, Малинецкий ГГ., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
25. Анищенко В. С, Окрокверцхов ГА., Стрелкова Г. И. Статистические свойства динамического хаоса // Усп. физ. наук. 2005. Т. 175, №2. С. 163 - 179.
26. Benettm С, Galgani Г., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338-2345.
27. Wolf A., Swift J. В., Swmney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285 - 317.
28. Малинецкий ГГ., Потапов А. Б. О вычислении размерностей странных аттракторов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, №7. С. 1021 -1037.
29. Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268 - 273.
30. Dormand J. R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge - Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19 - 26.
Для цитирования:
Глызин С.Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция - диффузия» на отрезке. Моделирование и анализ информационных систем. 2009;16(3):96-116.
For citation:
Glyzin S.D. Difference approximations of "reaction - diffusion" equation on a segment. Modeling and Analysis of Information Systems. 2009;16(3):96-116. (In Russ.)
Просмотров: 55
Послать статью по эл. почте 