Difference approximations of "reaction - diffusion" equation on a segment
Abstract
The system of phase differences for a chain of diffuse weakly coupled oscillators on a stable integral manifold is constructed and analysed. It is shown by means of numerical methods that as the number of oscillators in the chain increases, the Lyapunov dimention growth is close to linear. The extensive computations performed for difference model of Ginsburg-Landau equation illustrate this result and determine the applicability limits for asymptotic methods.
Keywords
chaotic attractor,
autooscillations,
autogenerator,
Lyapunov's dimension,
bifurcations,
invariant torus
MSC2020: 517.9
About the Author
S. D. Glyzin
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Russian Federation
Russian Federation
References
1. Абарбанель Г.Д., Рабинович М. И., Селверстон А., Баженов М. В., Хуэрта Р., Сущик М. М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях // Усп. физ. наук. 1996. Т. 166, № 4. С. 363 - 390.
2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
3. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М. И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 12. С. 561 - 564.
4. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 7 - 44.
5. Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., Abarbanel H. D. I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. P. 1213 - 1265.
6. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.
7. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.
8. Кащенко С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухкомпонентных систем с малой диффузией // Диф. уравнения. 1989. Т.25, № 2. С. 262 - 270.
9. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 1. С. 41 - 49.
10. Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 1. С. 831 - 835.
11. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130 - 141.
12. Ruelle D., Takens F. On the nature of tubulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167 - 192.
13. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г. Г., Самарский А.А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1987. Т. 28. С. 207 - 313.
14. Глызин С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения "реакция - диффузия" // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805 - 811.
15. Глызин С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау - Колесова о природе турбулентности // Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс. 1989. Вып. 3. С. 31 - 36.
16. Аронсон И. С, Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ. 1985. Т. 89, № 1. С. 92 - 105.
17. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. П., Старобинец И. М. О рождении многомерного хаоса в активных решетках // ДАН СССР. 1984. Т. 279, № 3. С. 596 -602.
18. Колесов Ю. С, Майоров В. В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1986. С. 3 - 13.
19. Колесов Ю. С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 3 - 40.
20. Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. матем. журн. 1987. Т. 39, № 1. С. 28 - 34.
21. Митрополъский Ю.А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.
22. Глызин Д. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008611464. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer". Заявка № 2008610548 от 14.02.2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008 г.
23. Рабинович М. П., Сущик М. М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // Усп. физ. наук. 1990. T. 160, вып. 1. С. 3 - 64.
24. Ахромеева Т. С, Курдюмов СП, Малинецкий ГГ., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
25. Анищенко В. С, Окрокверцхов ГА., Стрелкова Г. И. Статистические свойства динамического хаоса // Усп. физ. наук. 2005. Т. 175, №2. С. 163 - 179.
26. Benettm С, Galgani Г., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338-2345.
27. Wolf A., Swift J. В., Swmney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285 - 317.
28. Малинецкий ГГ., Потапов А. Б. О вычислении размерностей странных аттракторов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, №7. С. 1021 -1037.
29. Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268 - 273.
30. Dormand J. R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge - Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19 - 26.
Review
For citations:
Glyzin S.D. Difference approximations of "reaction - diffusion" equation on a segment. Modeling and Analysis of Information Systems. 2009;16(3):96-116. (In Russ.)
Views:
577
Email this article 