On the Root-class Residuality of HNN-extensions of Groups
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-4-148-180
Abstract
Let K be an arbitrary root class of groups. This means that K contains at least one non-unit group, is closed under taking subgroups and direct products of a finite number of factors and satisfies the Gruenberg condition: if 1 ≤ Z ≤ Y ≤ X is a subnormal series of a group X such that X/Y ∈ K and Y/Z ∈ K, there exists a normal subgroup T of X such that T ⊆ Z and X/T ∈ K. In this paper we study the property ‘to be residually a K-group’ of an HNN-extension in the case when its associated subgroups coincide. Let G = (B, t; t¯¹Ht = H, φ). We get a sufficient condition for G to be residually a K-group in the case when B ∈ K and H is normal in B, which turns out to be necessary if K is closed under factorization. We also obtain criteria for G to be residually a K-group provided that K is closed under factorization, B is residually a K-group, H is normal in B and satisfies at least one of the following conditions: AutG(H) is abelian (we denote by AutG(H) the group of all automorphisms of H which are the restrictions on this subgroup of all inner automorphisms of G); AutG(H) is finite; φ coincides with the restriction on H of an inner automorphism of B; H is finite; H is infinite cyclic; H is of finite Hirsh-Zaitsev rank (i. e. H possesses a finite subnormal series all factors of which are either periodic or infinite cyclic). Besides, we find a sufficient condition for G to be residually a K-group in the case when B is residually a K-group and H is a retract of B (K is not necessarily closed under the factorization in this statement).
About the Author
E. A. Tumanova
Ivanovo State University
Russian Federation
Russian Federation
аспирант, Ermak str., 39, Ivanovo, 153025, Russia
References
1. Азаров Д. Н. Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп: Дис. канд. физ.-мат. наук. Иваново, 2000. [Azarov D. N. Approksimiruemost svobodnogo proizvedeniya grupp s odnoy obedinennoy podgruppoy nekotorymi klassami konechnykh grupp: Dis. kand. fiz.-mat. nauk. Ivanovo, 2000. (in Russian)].
2. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными p-группами // Чебышевский cб. 2010. Т. 11. Вып. 3. С. 11–21. [Azarov D. N. On the residual finiteness of p-groups // Chebyshevskii Sb. 2010. V. 11. No. 3. P. 11–21 (in Russian)].
3. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными p-группами нисходящих HNN-расширений групп // Чебышевский сб. 2012. Т. 13. Вып. 1. С. 9–19. [Azarov D. N. On the virtual residuality of descending HNN-extensions of groups by finite p-groups // Chebyshevskii Sb. 2012. V. 13. No. 1. P. 9–19 (in Russian)].
4. Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости HNN-расширений и обобщенных свободных произведений групп конечного ранга // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54. № 6. С. 1203–1215. [English transl.: Azarov D. N. On the residual finiteness of the HNNextensions and generalized free products of finite rank groups // Sib. Math. J. 2013. V. 54. No. 6. P. 959–967].
5. Азаров Д. Н., Гольцов Д. В. О почти аппроксимируемости обобщенных свободных произведений и HNN-расширений групп некоторыми классами конечных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2012. Вып. 2. С. 86–91. [Azarov D. N., Goltsov D. V. O pochti approksimiruemosti obobshchennykh svobodnykh proizvedeny i HNN-rasshireny grupp nekotorymi klassami konechnykh grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2012. Vyp. 2. S. 86–91 (in Russian)].
6. Азаров Д. Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5 (2002). С. 6–10. [Azarov D. N., Tieudjo D. Ob approksimiruemosti svobodnogo proizvedeniya grupp s obedinennoy podgruppoy kornevym klassom grupp // Nauch. tr. Ivan. gos. un-ta. Matematika. Vyp. 5 (2002). S. 6–10 (in Russian)].
7. Варламова И. А., Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными группами групп Баумслага–Солитера // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2012. Вып. 2. С. 107–114. [Varlamova I. A., Moldavanskii D. I. Ob approksimiruemosti konechnymi gruppami grupp Baumslaga-Solitera // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2012. Vyp. 2. S. 107–114 (in Russian)]
8. Гольцов Д. В. О почти аппроксимируемости корневыми классами обобщенных свободных произведений и HNN-расширений групп // Чебышевский сб. 2013. Т. 14. Вып. 3. C. 34–41. [Goltsov D. V. O pochti approksimiruemosti kornevymi klassami obobshchennykh svobodnykh proizvedeny i HNN-rasshireny grupp // Chebyshevskii Sb. 2013. T. 14. Vyp. 3. S. 34–41 (in Russian)].
9. Гудовщикова А. С., Соколов Е. В. Два замечания о классе конечных разрешимых π-групп // Вестн. молодых ученых ИвГУ. 2012. Вып. 12. С. 3–4. [Gudovshchikova A. S., Sokolov E. V. Dva zamechaniya o klasse konechnykh razreshimykh π-grupp // Vestn. molodykh uchenykh IvGU. 2012. Vyp. 12. S. 3–4 (in Russian)].
10. Иванова О. А., Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными π-группами некоторых групп с одним определяющим соотношением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2008. Вып. 6. С. 51–58. [Ivanova O. A., Moldavanskii D. I. Approksimiruemost konechnymi π-gruppami nekotorykh grupp s odnim opredelyayushchim sootnosheniem // Nauch. tr. Ivan. gos. un-ta. Matematika. 2008. Vyp. 6. S. 51–58 (in Russian)].
11. Коптева А. А., Соколов Е. В. Некоторые аппроксимационные свойства HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2013. Вып. 2. С. 78–88. [Kopteva A. A., Sokolov E. V. Nekotorye approksimatsionnye svoystva HNN-rasshireny grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2013. Vyp. 2. S. 78–88. (in Russian)].
12. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 448 с. [Lyndon R., Schupp P. Combinatorial group theory. Springer-Verlag, 1977. 339 p.].
13. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49–60. [Maltsev A. I. O gomomorfizmakh na konechnye gruppy // Uchen. zap. Ivan. gos. ped. in-ta. 1958. T. 18. S. 49–60 (in Russian)].
14. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными p-группами некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2003. Вып. 3. С. 102–116. [Moldavanskii D. I. Approksimiruemost konechnymi p-gruppami nekotorykh HNN-rasshireny grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2003. Vyp. 3. S. 102–116 (in Russian)].
15. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными p-группами HNN-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2000. Вып. 3. С. 129–140. [Moldavanskii D. I. Approksimiruemost konechnymi p-gruppami HNN-rasshireny // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2000. Vyp. 3. S. 129–140 (in Russian)].
16. Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными p-группами HNN-расширений нильпотентных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2006. Вып. 3. С. 128–132. [Moldavanskii D. I. Ob approksimiruemosti konechnymi p-gruppami HNN-rasshireny nilpotentnykh grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2006. Vyp. 3. S. 128–132 (in Russian)].
17. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. “Биология, Химия, Физика, Математика”. 2002. Вып. 3. С. 123–133. [Moldavanskii D. I. Finitnaya approksimiruemost nekotorykh HNN-rasshireny grupp // Vestnik Ivan. gos. un-ta. Ser. “Biologiya, Khimiya, Fizika, Matematika”. 2002. Vyp. 3. S. 123–133 (in Russian)].
18. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость нисходящих HNN-расширений групп // Укр. мат. журн. 1992. Т. 44. № 6. С. 842–845. [Moldavanskii D. I. Finitnaya approksimiruemost niskhodyashchikh HNN-rasshireny grupp // Ukr. mat. zhurn. 1992. T. 44. No. 6. S. 842–845 (in Russian)].
19. Соколов Е. В. Отделимость подгрупп некоторыми классами конечных групп. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 с. ISBN 978-3-8465-8581-8. [Sokolov E. V. Otdelimost podgrupp nekotorymi klassami konechnykh grupp. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 s. ISBN 978-3-8465-8581-8 (in Russian)].
20. Туманова Е. А. Аппроксимируемость конечными p-группами HNN-расширений групп // Вестн. Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2012. Вып. 2. С. 139–141. [Tumanova E. A. Approksimiruemost konechnymi p-gruppami HNN-rasshireny grupp // Vestn. Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2012. Vyp. 2. S. 139–141 (in Russian)].
21. Туманова Е. А. Некоторые достаточные условия аппроксимируемости обобщенных свободных произведений корневыми классами групп // Научно-исследовательская деятельность в классическом университете: ИвГУ — 2013: Сборник статей по итогам научной конференции. Иваново, 28 января–8 февраля 2013 г. Иваново: ИвГУ, 2013. С. 9–12. [Tumanova E. A. Nekotorye dostatochnye usloviya approksimiruemosti obobshchennykh svobodnykh proizvedeny kornevymi klassami grupp // Nauchnoissledovatelskaya deyatelnost v klassicheskom universitete: IvGU — 2013: Sbornik statey po itogam nauchnoy konferentsii. Ivanovo, 28 yanvarya–8 fevralya 2013 g. Ivanovo: IvGU, 2013. S. 9–12 (in Russian)].
22. Туманова Е. А. Об аппроксимируемости конечными π-группами HNN-расширений групп // Вестн. Иван. гос. ун-та. Сер. “Естественные, общественные науки”. 2013. Вып. 2. С. 94–102. [Tumanova E. A. Ob approksimiruemosti konechnymi π-gruppami HNNrasshireny grupp // Vestn. Ivan. gos. un-ta. Ser. “Estestvennye, obshchestvennye nauki”. 2013. Vyp. 2. S. 94–102 (in Russian)].
23. Туманова Е. А. Об аппроксимируемости корневыми классами групп обобщенных свободных произведений с нормальным объединением // Материалы XII Международной конференции “Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения”, посвященной восьмидесятилетию профессора В. Н. Латышева. Тула, 21–25 апреля 2014 г. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. C. 97–100. [English transl.: Tumanova E. A. Certain residually root (class of groups) generalized free products with normal amalgamation // Proceedings of XII International Conference “Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application”, dedicated to 80-th anniversary of Professor V. N. Latyshev. Tula, 21–25 April 2014. Tula: TSPU, 2014. P. 191–193].
24. Andreadakis S., Raptis E., Varsos D. A characterization of residually finite HNN-extensions of finitely generated Abelian groups // Arch. Math. 1988. V. 50. No. 6. P. 495–501.
25. Andreadakis S., Raptis E., Varsos D. Residual finiteness and Hopficity of certain HNN extensions // Arch. Math. 1986. V. 47. P. 1–5.
26. Aschenbrenner M., Friedl S. A criterion for HNN extensions of finite p-groups to be residually p // J. Pure Appl. Algebra. 2011. V. 215. No. 9. P. 2280–2289.
27. Baumslag B., Tretkoff M. Residually finite HNN-extensions // Comm. Algebra. 1978. V. 6. P. 179–194.
28. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106. P. 193–209.
29. Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. V. 68. P. 199–201.
30. Borisov A. M., Sapir M. Polynomial maps over finite fields and residual finiteness of mapping tori of group endomorphisms // Invent. Math. 2005. V. 160. No. 2. P. 341–356.
31. Cohen D. E. Residual finiteness and Britton’s lemma // J. Lond. Math. Soc. 1977. V. 16. P. 232–234.
32. Dixon M. R., Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya. On various rank conditions in infinite groups // Algebra and Discrete Mathematics. 2007. No. 4. P. 23–43.
33. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. Lond. Math. Soc. 1957. V. 7. P. 29–62.
34. Hsu T., Wise D. Ascending HNN extensions of polycyclic groups are residually finite // J. Pure Appl. Algebra. 2003. V. 182. No. 1. P. 65–78.
35. Raptis E., Varsos D. Residual properties of HNN-extensions with base group an Abelian group // J. Pure Appl. Algebra. 1989. V. 59. No. 3. P. 285–290.
36. Raptis E., Varsos D. Some residual properties of certain HNN extensions // Bull. Greek Math. Soc. 1987. V. 28. P. 81–87.
37. Raptis E., Varsos D. The residual finiteness of HNN-extensions and generalized free products of nilpotent groups: A characterization // J. Aust. Math. Soc. Ser. A. 1992. V. 53. No. 3. P. 408–420.
38. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f. g. abelian group // J. Pure Appl. Algebra. 1991. V. 76. No. 2. P. 167–178.
39. Rhemtulla A. H., Shirvani M. The residual finiteness of ascending HNN-extensions of certain soluble groups // Ill. J. Math. 2003. V. 47. No. 1–2. P. 477–484.
40. Sokolov E. V. A characterization of root classes of groups // ArXiv math.GR:1308.1039. 41. Tieudjo D. On root-class residuality of some free constructions // JP Journal of Algebra, Number Theory and applications. 2010. V. 18. No. 2. P. 125–143.
41. Varsos D. The residual nilpotence of the fundamental group of certain graphs of groups // Houston J. Math. 1996. V. 22. No. 2. P. 233–248.
Review
For citations:
Tumanova E.A. On the Root-class Residuality of HNN-extensions of Groups. Modeling and Analysis of Information Systems. 2014;21(4):148-180. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-4-148-180
Views:
998
Email this article 